Систематизация одномерных краевых задач механики деформируемого твердого тела и алгоритмы их решения

Автор: Екатерина Анатольевна Коровайцева

Организация: НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Для проведения систематизации одномерных краевых задач МДТТ выбрано направление решения задач, которое связано с необходимостью использования систем дифференциальных уравнений. Достаточность рассмотрения только одномерных задач обусловлена тем, что построение алгоритмов решения многомерных задач не вызывает принципиальных методических затруднений по сравнению со случаем одномерных задач. Независимо от типа исследуемых конструкций, при описании исходной задачи используется единая векторно-матричная форма. Привлекаемые дифференциальные уравнения могут быть двух типов: линейные и нелинейные без ограничения на диапазон исследуемых нелинейностей. В каждом из типов краевых задач рассматриваются три формы:

1)    двухточечная краевая задача,

2)    многоточечная неразветвленная краевая задача,

3)    многоточечная разветвленная краевая задача.

Введенные в итоге шесть форм краевых задач считаются каноническими. Характерной особенностью введенной канонизации форм является выделение разрешающего вектора искомых переменных, дифференцируемого по координате, а также вектор-функции исходных значений параметров задачи.

     Также построены еще шесть форм краевых задач с дополнительными алгебраическими соотношениями, являющихся наиболее употребительными при решении прикладных задач механики деформирования конструкций. Эти формы могут быть приведены к линейным каноническим с помощью тождественных преобразований (для линейных задач) либо к квазилинейным каноническим формам при составлении алгоритма решения, основанного на использовании метода дифференцирования по параметру (для нелинейных задач).

Таким образом, предлагаемая систематизация одномерных краевых задач МДТТ, основанная на использовании векторно-матричной формализации разрешающих соотношений, позволяет сократить количество требующих рассмотрения задач и разрабатываемых методик и алгоритмов их решения, одновременно повысив универсальность последних [1]. Минимально возможный круг алгоритмов решения одномерных задач МДТТ связан с шестью введенными каноническими формами, а при программировании алгоритмов решения всех рассматриваемых типов краевых задач базовыми являются лишь три программы для решения линейных задач, соответствующих первым трем каноническим формам.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Москвы (проект 19-38-70005 мол_а_мос).