Неньютоновские Течения Хеле-Шоу
Автор: Олег Анатольевич Логвинов
Организация: Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, Москва
Течениями в ячейке Хеле-Шоу называют течения жидкости между двумя параллельными пластинами на малом расстоянии друг от друга. Одно из применений подобных ячеек – использование их для аналогового моделирования фильтрационных течений в пористых средах. Особый интерес при этом представляет задача вытеснения вязкой жидкости, заполняющей ячейку Хеле-Шоу, другой – менее вязкой, подающейся в ячейку. Возникающая при таком вытеснении неустойчивость приводит к нарушению первоначально плоской формы межфазной границы (между нефтью и водой, например) и прорыву отдельных языков вытесняющей жидкости (так называемых «вязких пальцев»).
Течения Хеле-Шоу ньютоновских (линейно-вязких) жидкостей к настоящему моменту хорошо изучены. Заметно больший интерес для прикладных задач представляют фильтрационные течения жидкостей с ярко выраженными неньютоновскими свойствами. В работе рассмотрены реологии четырёх принципиально отличающихся типов: обобщённая ньютоновская (степенная) реология Оствальда – де Виля, реология Бингама – Шведова с ненулевым пределом текучести, вязкоупругая реология Максвелла и нестационарная (тиксотропная) реология Мура. Экспериментальные данные показывают, что картины вытеснения в этих случаях получаются значительно богаче по сравнению с ньютоновскими жидкостями – возможно образование сильно разветвлённых, дендритных, «фрактальных» и трещиноватых структур.
В первой части работы на основе единого подхода, аналогичного подходу для линейно вязкой жидкости, выводятся осреднённые модели типа Хеле-Шоу для перечисленных реологий. Во второй части, в рамках полученных моделей рассматриваются задачи фронтального или радиального вытеснения. Отличительной особенностью исследования является отсутствие в системе стабилизирующих факторов: поверхностного натяжения и молекулярной диффузии. Характерный размер вязких пальцев при этом всё равно вырабатывается за счёт учёта вязких нормальных напряжений в динамическом условии на межфазной границе. Отметим, что этот учёт для неньютоновских жидкостей проводится впервые.
Результаты получаются разнообразные. Для жидкостей со степенной реологией удаётся объяснить происхождение дендритных структур. Для вязкоупругих жидкостей – образование трещин. Для тиксотропных жидкостей обнаружен эффект стабилизации фронта, отсутствующий в ньютоновском случае.
