НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОУПРУГОЙ ДИФФУЗИИ С УЧЁТОМ ПЕРЕКРЕСТНЫХ ДИФФУЗИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
Автор: Сергей Андреевич Давыдов
Соавторы: Земсков Андрей Владимирович
Организация: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Существует ряд подходов к созданию математических моделей механики сплошных сред. Одним из перспективных направлений, дающих возможность наиболее точно аналитически описать поведение среды, является моделирование связанных полей различной природы, примером которого является модель термоупругости с учётом диффузии. Она позволяет описать взаимное влияние поля перемещений и поля температур, учитывая при этом изменение поля концентраций материи в деформируемом твёрдом теле. Большинство имеющихся моделей термоупругости с учётом диффузии представлены в стационарной или квазистационарной постановке и не учитывают перекрестных диффузионных эффектов. Для решения этих задач используются в основном численные алгоритмы, однако для моделирования и анализа сложных реальных процессов часто требуется именно нестационарная аналитическая модель.
В работе рассматривается связанная одномерная нестационарная задача термоупругости с учётом массопереноса для однородной многокомпонентной среды (слой или полупространство). Математическая постановка задачи в прямоугольной декартовой системе координат представляет собой связанную систему уравнений в частных производных, состоящую из уравнений движения, теплопереноса и N уравнений массопереноса (N – число компонент среды). Уравнения массопереноса также учитывают взаимное влияние полей концентраций различных компонент среды. На границах среды задаются перемещение, тепловой поток и диффузионные потоки для каждой компоненты среды, зависящие от времени. В случае полупространства один наборов граничных условий заменяется на условие ограниченности искомых величин на бесконечности. Начальные условия приняты нулевыми.
Решение ищется в интегральной форме, которая представляет собой свёртку по времени функций Грина с правыми частями граничных условий. В задаче для слоя, для нахождения функций Грина, используется преобразование Лапласа по времени и разложение искомых функций в неполные ряды Фурье, что сводит задачу в изображениях к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых функций. В задаче для полупространства вместо разложения в ряды Фурье используется синус˗, косинус˗преобразование Фурье. При таком подходе трансформанты искомых функций являются рациональными функциями параметра преобразования Лапласа. Их оригиналы находятся с помощью известных теорем операционного исчисления.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №17-08-00663 и №18-31-00437).
1. Давыдов С.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Двухкомпонентное упруго диффузионное полупространство под действием нестационарных возмущений // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического сотрудничества. – 2014. – № 2. – С. 31–38.
2. Давыдов С.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Поверхностные функции Грина в нестационарных задачах термомеханодиффузии // Проблемы прочности и пластичности. – 2017. – Т.79, № 1. – С. 38–47.
