Обратная нестационарная задача по идентификации закона изменения площади поперечного сечения для упругого стержня конечной длины

Автор: Яна Андреевна Вахтерова

Соавторы: Федотенков Г.В.

Организация: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Обратная нестационарная задача по идентификации закона изменения площади поперечного сечения для упругого стержня конечной длины

Основной целью исследований является получение решений новых нестационарных обратных задач для упругих стержней. Задачей данного исследования является разработка и реализация новых методов, подходов и алгоритмов решения нестационарных обратных задач механики стержней. Прямая нестационарная задача для упругого стержня состоит в определении упругих перемещений, которое удовлетворяет заданному уравнению нестационарных колебаний в частных производных и некоторым заданным начальным и граничным условиям. Решение обратной задачи с неизвестным законом изменения площади поперечного сечения, базируется на методе функций влияния. С его применением обратная задача сводится к решению системы интегральных уравнений типа Вольтера I-го рода по времени относительно искомой площади поперечного сечения упругого стержня. Для его решения используется метод механических квадратур в сочетании с алгоритмом регуляризации Тихонова.

Рассматривается упругий изотропный стержень конечной длины, левый конец которого жестко закреплен, правый конец стержня свободный. На свободном конце стержня приложена сосредоточенная нагрузка, зависящая от времени. Стержень имеет переменную площадь поперечного сечения, в котором, закон распределения по координате неизвестен и подлежит идентификации в процессе решения обратной задачи. Предполагается, что в некоторой окрестности свободного конца стержня перемещения известны. На практике эта информация может поступать с датчиков измерения продольных перемещений, установленных в нескольких сечениях в окрестности свободного конца стержня. Для построения метода решения обратной задачи требуется сначала получить решения прямой задачи, в которой площадь известна и требуется определить нестационарные перемещения для упругого стержня.

В основу методики решения прямой задачи положен принцип суперпозиции, при котором перемещения и контактные напряжения связаны посредством интегрального оператора по пространственной переменной и времени. Его ядром является функция влияния для упругого стержня. Эта функция представляет собой фундаментальное решение дифференциального уравнения движения исследуемого стержня. Функция влияния находится с помощью преобразования Лапласа по времени и разложения в ряд Фурье по системе собственных функций.

В обратной задаче требуется, по данным, полученным с датчика, найти переменную площадь поперечного сечения. Решение обратной задачи сводится к решению системы независимых интегральных уравнения Вольтера I-го рода, которая является некорректной по Ж. Адамару вследствие вырожденности ядер интегральных операторов. Для регуляризации обратной задачи применяется метод Тихонова, приводящий к системе интегральных уравнений с невырожденными ядрами.

Для решения системы разрешающих интегральных уравнений разработан и реализован на ЭВМ численно-аналитический алгоритм, основанный на методе средних прямоугольников в сочетании с методом регуляризации Тихонова.