ТИПЫ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В МЕХАНИКЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Автор: Александр Оганесович Ватульян

Организация: Южный федеральный университет

Обратные задачи – весьма интенсивно развивающаяся область механики и математической физики. С точки зрения соотношения причина – следствие все задачи математического моделирования можно разбить на два больших класса: прямые задачи (ПЗ) (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные задачи (ОЗ) (известны следствия, необходимо найти причины). В качестве причин могут фигурировать начальные условия, коэффициенты дифференциальных операторов, граничные условия и область, занятая изучаемым объектом. В качестве следствий в механике используются обычно компоненты физических полей (перемещения, скорости, напряжения, деформации, температура).

Для ПЗ доказаны теоремы разрешимости и единственности, созданы различные пакеты, реализующие соответствующие вычислительные технологии. 

Для ОЗ требуется определить 4 отмеченные причины (либо одну из них) по некоторой дополнительной информации об объекте исследования и по сути осуществить обращение причинно-следственных связей, сформулировать условия, обеспечивающие единственность.

Отметим, что ОЗ имеют постоянно расширяющиеся области приложения  в инженерной практике, среди которых выделим: определение свойств материалов -полимеров  и композитов, функционально-градиентных материалов, биологических тканей, пьезокерамик; совершенствование технологий неразрушающего контроля  (определение расположения и конфигурации дефекта по измеренному  полю смещений на поверхности тела или по резонансным частотам); задачи рентгеновской и акустической томографии; распознавание движущихся объектов; определение законов стратификации в океане и другие.

Обсуждены основные типы ОЗ (ретроспективные, граничные, коэффициентные и геометрические), основные трудности при их исследовании (нелинейность, неединственность, некорректность); представлены основные пути преодоления проблем и современные численные схемы для решения различных типов ОЗ

Отметим, что единые подходы к различным типам обратных задач, которые в условной операторной форме сформулированы в [1],  и требующие восстановления одной или нескольких функций или параметров, могут быть исследованы лишь на  фундаменте общих операторных уравнений и средств функционального анализа. 

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ № 075-15-2019-1928.

1.А. О. Ватульян. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: Физматлит, 2019. 272с.