Метод узловых сил для гиперупргого материала и его приложение к задачам биомеханики
Автор: Виктория Саламатова
Соавторы: А.А. Лёгкий, Ю.В. Василевский
Организация: Сеченовский университет
Моделирование напряженно-деформированного состояния мягких тканей зачастую сопряжено с использованием гиперупругих моделей.
В работе описан метод приближенного решения задач нелинейной теории упругости в рамках конечных деформаций для случая гиперупругих материалов. Метод основан на использовании P1-конечных элементов и интерполяционных свойств барицентрических координат. Данный метод позволяет аналитически записать конечно-элементные уравнения для различных мер деформации, что способствует уменьшению объема вычислений, простоте и общности реализации по сравнению с классическими технологиями, основанными на использовании гессиана упругого потенциала.
Предложенный подход был реализован [2, 3, 4] для мер деформаций, основанных на полярном и верхнетреугольном (QR) разложении градиента деформации [1].
Отметим, что мера деформации, основанная на QR-разложении градиента деформации, позволяет использовать экспериментальные данные о механическом поведении материала непосредственно (без априорно заданного вида модели), что позволяет избежать неопределенности восстановления вида определяющих соотношений по экспериментальным данным.
В рамках развития модельно-независимых подходов (использующих таблично заданные экспериментальные данные) для моделирования напряженно-деформируемых состояний упругих тел предложенные методы протестированы на примере модельных задач для гиперупругих мембран [5].
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект 19-71-10094).
Список литературы
1. Srinivasa A.R. On the use of the upper triangular (or QR) decomposition for developing constitutive equations for Green-elastic materials //International Journal of Engineering Science. 2012. Т. 60. С. 1-12.
2. Salamatova V.Y., Liogky A.A. Method of Hyperelastic Nodal Forces for Deformation of Nonlinear Membranes //Differential Equations. 2020. Т. 56. №7. С. 950-958.
3. Василевский Ю. В., Саламатова В. Ю., Лозовский А. В. О компактных формулах расчета деформаций мягких биологических тканей //Дифференциальные уравнения. – 2017. – Т. 53. – №. 7. – С. 935-935.
4. Саламатова В. Ю. Конечно-элементный метод расчёта трёхмерной деформации гиперупругих материалов //Дифференциальные уравнения. – 2019. – Т. 55. – №. 7. – С. 1023-1032.
5. Salamatova V. Y., Liogky A. A. Hyperelastic membrane modelling based on data-driven constitutive relations //Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. – 2020. – Т. 35. – №. 3. – С. 163-173.
