Федеральный исследовательский центр Южный научный центр Российской академии наук (ЮНЦ РАН)
Механизмы сейсмических процессов до настоящего времени не получили исчерпывающего объяснения. Однако известно, что взаимодействие литосферных структур может привести к резонансным явлениям, способным спровоцировать землетрясения. Развитие механико-математических методов изучения взаимодействия блоковых отдельностей литосферы и диагностики характера дефекта в области их контакта, результаты применения которых в сочетании с интерпретацией результатов экспериментальных геофизических исследований [1] могут быть использованы для разработки и обоснования практических методик исследования процессов, определяющих характер сейсмичности территории, является весьма актуальным.
С помощью метода блочного элемента [2] исследуются задачи, описывающие процессы деформирования при статическом [3] и вибрационном воздействии некоторых классов разноразмерных блочных структур, используемых при моделировании областей взаимодействия плит и микроплит. На примере структуры, включающей покрытие из двух разнотипных контактирующих полуплоскости на трехмерной деформируемой подложке, исследован случай наличия вертикального разлома, способного вызвать локализацию напряженно-деформированного состояния в этой зоне. В качестве покрытий рассматриваются пластины Кирхгофа, движение которых описывается дифференциальными уравнениями в перемещениях [4]. В отличие от сложного алгоритма топологического метода блочного элемента при моделировании взаимодействие структур литосферы по прямолинейному участку границы может быть использован подход, позволяющий обеспечить более быстрое проведение расчетов.
Принятая модель для литосферных структур корового уровня в виде двумерных фрагментов покрытия на трехмерной подложке позволяет изучать особенности распространения сигнала в блочной среде, а также исследовать вопрос потери устойчивости покрытия. Имеющиеся данные о техногенной сейсмичности свидетельствуют о нарастании реакции верхних слоев литосферы на антропогенные воздействия, что делает их практически важным объектом изучения.
1.Мухин А.С., Павлова А.В., Телятников И.С. К методам исследования блочных литосферных структур // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2017. № 1. С. 65–73.
2. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента // Доклады АН. 2009. Т. 427. №2. С. 183–187.
3. Telyatnikov I.S. Modeling of Deformation Processes in Lithospheric Structures during their Static Interaction // Thermal Science. 2019. Т. 23. № S2. pp. S591–S597.
4. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. 422 с.
Илья Сергеевич Телятников
ФГБУН Институт прикладной механики РАН
Пляска проводов воздушных линий электропередачи представляет собой самовозбуждающийся колебательный процесс с аэродинамической обратной связью, обусловленной изменением действующей на провод с гололедом подъемной силы при изменении угла атаки. Пляска относится к низкочастотным видам колебаний (0.15–1.0 Гц) и характеризуется значительными амплитудами [1, 2]. Наиболее опасной, как правило, является однополуволновая пляска, при которой амплитуды вертикальных колебаний проводов и соответствующие вариации силы натяжения максимальны [3].
Многочисленные наблюдения и экспериментальные исследования показывают, что при пляске, наряду с выраженными вертикальными движениями проводов, имеют место синхронизированные с ними крутильные колебания. Закручивание сечения провода приводит к дополнительному увеличению подъемных сил и, как следствие, амплитуд пляски по сравнению с «чистым» вертикальным движением проводов по Ден-Гартогу [1].
В модели провод разбивается на конечные элементы, его относительное удлинение записывается с учетом влияния температурного расширения и технологического запаса по длине. Угол кручения сечения и осевые перемещения записываются в пределах элемента по методу Ритца. Считаем, что системы координат сечения льда и провода связаны жестким образом, их начала лежат в центре жесткости системы. Динамика процесса описывается с помощью принципа Д’Аламбера-Лагранжа: вычисляются вариации потенциальной энергии системы, работы инерционных и внешних сил, определяются коэффициенты при вариациях обобщенных координат.
Получившаяся система нелинейных дифференциальных уравнений приводится к форме Коши и интегрируется численно. Начальные условия для интегрирования находятся из решения задачи статики, уравнения которой получаются путем исключения инерционных членов из динамической задачи. Решать задачу статики можно с помощью метода продолжения по параметру.
1. CIGRÉ Technical Brochure 322, "State of the art of conductor galloping", by Task Force B2.11.16, Sept 2003.
2. Виноградов А.А., Данилин А.Н., Рабинский Л.Н. Деформирование многослойных проволочных конструкций спирального типа. Математическое моделирование, примеры использования. – М.: Изд-во МАИ, 2014. – 168 с.
3. Havard D.G. Detuning for controlling galloping of single conductor transmission lines // IEEE Symposium on Mechanical Oscillations of Overhead Transmission Lines. Paper A 79 500-0. – Vancouver, Canada. July 1979.
Руслан Анатольевич Шавня
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Национальный исследовательский Томский государственный университет
Большинство конструкционных металлов и сплавов характеризуются поликристаллической структурой. Исследование морфологических изменений, происходящих на свободной поверхности поликристаллических материалов в процессе нагружения, представляет интерес как для инженерных приложений, так и для научно-исследовательских задач. С одной стороны, возникновение деформационного рельефа может рассматриваться как нежелательное явление, поскольку оказывает негативное влияние на характеристики сопротивления усталости, износу и приводит к ухудшению физико-механических характеристик материала за счет локализации пластической деформации. С другой стороны, деформационные процессы на поверхности связаны с эволюцией напряженно-деформированного состояния в объеме материала и историей нагружения, что может послужить основой для разработки методов неразрушающего контроля и остаточного ресурса материала [1].
В настоящей работе предложена микромеханическая модель формирования деформационного рельефа в поликристаллическом титане в процессе одноосного нагружения. Модель деформационного отклика зерен разработана с учетом упруго-пластической анизотропии кристаллов с гексагональной плотноупакованной (гпу) решеткой в рамках физической теории пластичности кристаллов. Исследуется влияние размера зерен и текстуры на формирование и эволюцию деформационного рельефа.
1.V. Romanova, R. Balokhonov, E. Emelianova [et al.] Early prediction of macroscale plastic strain localization in titanium from observation of mesoscale surface roughening // Int. J. Mech. Sci. 2019. 161-162. P. 105047.
Евгения Сергеевна Емельянова
Научно-исследовательский институт механики МГУ им М.В. Ломоносова
В основе сокращения сердца лежат сложные взаимосвязанные процессы различной природы, протекающие на уровнях одиночной клетки сердечной мышцы, ткани и целого органа. Для понимания механизмов этих процессов, их взаимосвязей и причин нарушений в работе сердца, полезны математические модели, которые могли бы лечь в основу систем диагностики сердечных заболеваний и оценки эффективности их лечения. Для этого модели должны детально описывать механизмы работы сердца и быть относительно простыми с вычислительной точки зрения.
В докладе представлена математическая модель сердечно-сосудистой системы с многомасштабным описанием левого желудочка сердца (ЛЖ) [1]. Это описание основано на подробной клеточной модели сокращения сердечной мышцы и его регуляции, задаваемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений [2]. С помощью этой модели мы исследовали два типа наследственных кардиомиопатий, вызванных мутациями в одном из регуляторных белков сердечной мышцы. Каждая из мутаций приводила к нарушению сократительных и регуляторных свойств миокарда на клеточном уровне и изменению формы (ремоделированию) ЛЖ: концентрической гипертрофии (утолщению стенок желудочка) или дилатации (увеличению объёма полости желудочка). Мы опирались на клинические данные, полученные на клетках и сердцах пациентов с этими мутациями. Одна из них, ассоциированная с гипертрофической кардиомиопатией, вызывала существенное падение максимальной силы, развиваемой одиночным волокном мышцы, рост чувствительности силы к внутриклеточной концентрации ионов кальция и подавление зависимости такой чувствительности от длины волокон. Другая мутация, ассоциированная с дилатационной кардиомиопатией, вызывала падение кооперативности активации (наклона стационарных кривых кальций-сила) и снижение чувствительности сокращения к кальцию. Описание процессов регуляции сокращения клетки в нашей модели позволило нам численно исследовать влияние эффектов указанных мутаций на характеристики сердца как насоса. Расчёт сердечного цикла с учётом изменения формы ЛЖ выявил компенсаторные эффекты подобного ремоделирования.
Работа поддержана грантами РФФИ 18-31-00065 и 17-00-00066.
1. Syomin F.A., Zberia M.V., Tsaturyan A.K. Multiscale simulation of the effects of atrioventricular block and valve diseases on heart performance // Int J Numer Methods Biomed Eng. 2019. V. 35(7):e3216.
2. Syomin F.A. and Tsaturyan A.K. A simple model of cardiac muscle for multiscale simulation: Passive mechanics, crossbridge kinetics and calcium regulation // J Theor Biol. V. 420. P. 105–116.
Фёдор Александрович Сёмин
АО "ОКБМ Африкантов"
Для транспортировки и хранения радиоактивных материалов применяют специально разработанные для этого контейнеры, которые входят в состав транспортных упаковочных комплектов (ТУК).
В АО «ОКБМ Африкантов» разрабатывается ТУК, предназначенный для транспортировки и хранения отработанного ядерного топлива. В основу разработки ТУК легло выполнение требований нормативной документации (НП-061-05, НП-018-05, НП-001-15) и анализ напряженно-деформированного состояния конструкции при динамических воздействиях высокой интенсивности [1].
Оценка безопасности при падении самолета является важным проблемным вопросом при проектировании ТУК. Наиболее тяжелые последствия для конструкции могут быть вызваны прямым ударным воздействием двигателя (турбины) самолета. В данной работе рассматриваются вопросы моделирования высокоскоростного соударения турбины самолета с ТУК.
Корпус и несущие элементы ТУК смоделированы в полном соответствии с разработанной геометрией. При проектировании упрощенной конструкции, моделирующей турбину самолета, использовался график динамической нагрузки, полученный при ударном воздействии двигателя самолета Boeing 747 на жесткую стенку, из литературы [2].
В случае высокоскоростного динамического нагружения, сопровождающегося значительным пластическим деформированием, необходимо иметь истинные диаграммы деформирования, получаемые на основе расчетно-экспериментальных исследований путем определения параметров математической модели деформирования материалов. В данной работе использовались свойства конструкционных материалов, полученные из результатов экспериментальных исследований в условиях сжатия и растяжения при различных скоростях деформации и температурах.
Анализ соударения турбины самолета с ТУК был выполнен с использованием аттестованного программного комплекса ANSYS/LS-DYNA, основанного на методе конечных элементов и предназначенного для расчетного анализа высоконелинейных динамических процессов. Результаты проведенного анализа легли в основу формирования конечного облика разрабатываемой конструкции.
1. Виленский О.Ю., Душев С.А., Лапшин Д.А., Татарский А.М. Применение математического анализа при проектировании демпфирующих устройств для ТУК // Материалы XXI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (ВМСППС’2019). 2019 г. С. 245-247.
2. K Shirai et al. Safety analysis of dual purpose metal cask subject to impulsive load due to aircraft engine crash // Journal of Power and Energy Systems, 3. 2009 г. P. 72-82.
Алексей Максимович Татарский
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН
Технологические особенности получения аддитивных материалов приводят к образованию сложной микроструктуры, характеризующейся наличием границ раздела разного типа и геометрии, механической и кристаллографической текстур. Поскольку в рамках макромеханического подхода анализ деформационного поведения аддитивных материалов весьма затруднителен, разумным является использование многоуровневого моделирования с явным учетом микроструктуры материала [1]. В рамках подхода многоуровневого моделирования характеристики, полученные на нижележащих масштабах, использовались в качестве входных данных на более крупном масштабном уровне (рис. 1).
Согласно литературным данным зерна исследуемого сплава представляют собой дендриты, ветви которых отделены тонкой эвтектической прослойкой. Для определения свойств эвтектики (Al+Si) было проведено двумерное моделирование для фрагментов эвтектики, полученных путем графической обработки экспериментальных изображений (рис. 1а). Осредненные по объему характеристики были заданы в качестве кривой нагружения для эвтектической фазы на масштабе дендритной структуры зерна. На этом масштабе структура представляла собой ячейки дендритов, отделенные каркасной прослойкой эвтектической фазы (рис. 1б). Осредненные на этом масштабе характеристики деформационного отклика были использованы для описания упрочнения зерен трехмерной структуры на мезоуровне (рис. 1в).
Трехмерная модель поликристаллической структуры аддитивного алюминиевого сплава была сгенерирована методом пошагового заполнения. В соответствии с данными EBSD анализа модельный поликристалл содержал два характерных типа зерен – равноосные зерна по границам областей, имитирующих ванны расплава, и радиально направленные вытянутые зерна в их центральных частях (рис. 1в). Для описания деформационного отклика зерен были использованы определяющие соотношения физической теории пластичности для ГЦК кристаллов.
Для модельной трехмерной зеренной структуры в масштабе нескольких ванн расплава, была проведена серия расчетов растяжения вдоль, поперек направления сканирования и в направлении наращивания слоев. Проанализирована эволюция полей напряжений и пластических деформаций на мезоуровне. Показано, что на мезоуровне картины локализации пластической деформации и распределения напряжений коррелируют с областями равноосных и вытянутых зерен. Наибольшее отклонение локальных характеристик напряженно-деформированного состояния от среднего уровня наблюдалось для случаев растяжения вдоль направления сканирования и в направлении роста слоев.
1. Micromechanical Model of Deformation-Induced Surface Roughening in Polycrystalline Materials, Phys. Mesomech., 20, No. 3 (2017) 81.
Екатерина Дымнич
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
В представленной работе рассматривается одномерная полярно-симметричная связанная задача, целью которой является исследование НДС (напряженно-деформированного состояния) сплошного ортотропного многокомпонентного однородного бесконечного цилиндра, находящегося под действием равномерно распределенных нестационарных поверхностных возмущений упругодиффузионного характера. В работе учтено время релаксации диффузионных потоков в выбранном теле, что является существенным при моделировании быстропротекающих нестационарных процессов.
Математическая постановка задачи включает в себя дифференциальное уравнение движения сплошной среды и N неоднородных дифференциальных уравнений массопереноса. Замыкают математическую постановку задачи краевые условия, задаваемые на всей поверхности цилиндра. Начальные условия принимаются равными нулю.
Решение задачи в интегральной форме представляет собой свертки функций влияния данной задачи с функциями, задаваемыми в правых частях граничных условий. Для нахождения функций Грина используются разложение искомых в задаче функций в ряды Бесселя, а также интегральное преобразование Лапласа по времени. Оригиналы функций влияния определяются с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления.
Николай Андреевич Зверев
МГУ имени М.В. Ломоносова
Существует два типа аэроупругой неустойчивости: дивергенция и флаттер. В то время как флаттер — колебательная потеря устойчивости, дивергенция — статическая неустойчивость, переход к которой происходит при нулевой частоте колебаний. Физический механизм дивергенции, описанный в литературе, состоит в снижении одной из собственных частот колебаний (как правило, крутильной) до нуля из-за отрицательной аэродинамической жесткости, слияния со своим «двойником» и преобразования в одно монотонно затухающее и одно монотонно растущее собственное движение. Большинство имеющихся в литературе примеров этого механизма используют квазистационарную аэродинамику, которая, на первый взгляд, подходит для анализа дивергенции в силу её статической природы.
В настоящей работе доказывается, что при использовании нестационарной аэродинамики (теория Теодорсена) аналитическая структура собственных частот существенно меняется, и имеет место другой механизм перехода к дивергенции. А именно, частоты конструкционных колебаний не уменьшаются до нуля и не приводят к неустойчивости, а наоборот, становятся сильно задемпфированными потоком газа. При этом дивергентная форма неустойчивости не является непрерывным продолжением собственного колебания крыла в покоящемся воздухе, а отделяется от непрерывного спектра, который существует в аэроупругой системе при использовании нестационарной аэродинамики, но отсутствует в квазистационарном случае.
Обсуждаются эффекты, возникающие в этом механизме перехода к дивергенции при использовании численных методов. Проводится сравнение с экспериментальными данными.
Работа поддержана грантом РФФИ 18-31-20057.
1. Vedeneev V.V. New Mechanism of the Aeroelastic Divergence Onset// AIAA Journal. 2020. Vol. 58. No. 6. P. 2716-2725.
Василий Владимирович Веденеев
ФГБОУ ВО "Пермский национальный исследовательский политехнический университет"
Существует большой набор полимерных материалов и композитов на их основе российского и зарубежного производства, пригодных к использованию в качестве антифрикционных покрытий и прослоек в узлах конструкций, работающих в рамках контактного взаимодействия с трением [1]. Экспериментальное исследование свойств таких материалов и построение численных моделей их поведения в рамках механики контактного взаимодействия являются актуальными направлениями исследования.
В рамках работы выполнено междисциплинарное исследование деформационного поведения ряда современных антифрикционных полимерных материалов и композитов на их основе:
1. Серия натурных экспериментов по определению физико-механических, фрикционных и реологических свойств материалов с идентификацией модели их поведения.
2. Анализ влияния свойств современных антифрикционных полимерных материалов в рамках численных моделей экспериментов на стесненное и свободное сжатие цилиндрических образцов диаметром и высотой 20 мм плитами пресса.
3. Численное моделирование деформационного поведения исследуемых материалов в реальных конструкциях.
При численном моделировании напряженно-деформированного состояния тестовых задач и реальных конструкций было исследовано 6 полимеров и композитов на их основе (материалы 1-6). В качестве первого приближения, для описания модели поведения материалов выбрана деформационная теория упругопластичности (рис. 1).
Установлено, что наилучшими деформационными характеристиками обладает СВМПЭ наполненный углеродом (материал 1), но для построения и идентификации качественной модели его поведения нужны дополнительные экспериментальные исследования с различными историями длительного многоступенчатого нагружения; композиционные материалы на основе фторопласта 4 (материалы 4-5) обладают при стесненном и свободном сжатии более значимыми нелинейными и вязкоупругими эффектами, а также большей податливостью по сравнению с другими исследуемыми материалами, при дендритной форме частиц более заметны реологические эффекты.
Исследование выполнено за счет гранта РФФИ (№18-08-00903).
1. Адамов А.А., Каменских А.А., Носов Ю.О. Математическое моделирование поведения современных антифрикционных полимеров // Прикладная математика и вопросы управления. – 2019. – № 4. – С. 43-56.
Анна Александровна Каменских
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН
Исследования устойчивости и динамики продольного движения материалов, моделируемых в виде движущихся гибких струн, балок, панелей и пластин, представляют большой теоретический и практический интерес. В монографии [1] дан широкий обзор научной литературы по указанной проблематике. Отметим также работы [2 – 4], в которых исследуются, соответственно, проблема гашения возникающих поперечных колебаний продольно движущейся панели, статическая бифуркация нагретой панели, движущейся в оттоке идеальной жидкости и анализ ускоренного продольного движения мембранной панели, описываемого гипергеометрическим уравнением.
В работе рассматривается при отсутствии массовых сил одномерное продольное движение растягиваемой струи (волокна) вязкого материала (Рис. 1).
С применением законов сохранения массы и количества движения показано, что стационарное течение характеризуется экспоненциальным уменьшением толщины струи и согласованным экспоненциальным возрастанием ее скорости. Проблема устойчивости поведения движущегося вязкого материала изучается с учётом осевых напряжений, а также с использованием декомпозиции искомых определяющих переменных модели в виде суммы стационарных распределений и малых возмущений. Выводятся уравнения для возмущений переменных состояния, зависящие от определяющего параметра (обратного числу Рейнольдса), характеризующего комбинированное влияние вязкости, плотности, начальной скорости и длины рассматриваемого интервала. Рассмотрение полученной линеаризованной модели и выведенных спектральных соотношений привело к выводу об отсутствии нетривиальных возмущений при малых значениях определяющего параметра и, тем самым, об устойчивости изучаемой системы.
Работа выполнена по теме Госзадания (номер госрегистрации АААА-А20-120011690132-4) и при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект №20-08-00082а).
1. Banichuk N.V., Barsuk A.A., Jeronen J., Tuovinen T., Neittaanmaki P. Stability of Axially Moving Materials, Solid Mechanics and Its Applications Vol. 259. Springer Nature Switzerland AG, Cham. 2020. 642 P.
2. Баничук Н. В., Иванова С. Ю. Оптимальное подавление возмущений движущихся термоупругих панелей // Доклады Академии наук. 2018. Т. 478. № 1. С. 29–33.
3. Баничук Н.В., Афанасьев В.С., Иванова С.Ю. О статической бифуркации движущейся нагретой панели, обтекаемой идеальной жидкостью // Прикладная Математика и Механика. 2020. Т. 84. № 2. С. 244–241.
4. Banichuk N.V., Ivanova S.Y., Afanas’ev V.S. On axial constant acceleration movement and small transverse vibrations of membrane panel // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019. Vol. 40. No. 3. P.274–277.
Владислав Сергеевич Афанасьев
Санкт-Петербургский государственный университет
Одним из перспективных направлений в материаловедении является использование аддитивного производства для получения изделий из сплава TiNi с памятью формы. При использовании такой технологии структура материала является слоистой и, как ранее было установлено, при таком способе производства химический состав слоев и их структура существенно различаются. Это влияет как на мартенситные превращения, так и на функциональные свойства сплавов с памятью формы. Поэтому важно исследовать взаимосвязь структуры и функциональных свойств таких объектов. Целью настоящей работы явилось изучение обратимой деформации пятислойного образца сплава TiNi, полученного методом послойной наплавки, при его охлаждении и нагревании под напряжением в интервале температур фазовых переходов.
Пятислойные образцы из сплава TiNi синтезировали на титановую подложку методом электродуговой послойной наплавки, в котором в качестве расходуемого электрода выступала проволока сплава Ti49.1 Ni50.9 диаметром 1,2 мм. На электроэрозионном станке «АРТА 153 ПРО» из полученного образца вырезали пластины, толщиной 0,5 мм, из которых изготавливали образцы, ширина и длина рабочей части которых составляла 1 и 10 мм, соответственно. Образцы подвергали термообработке при температуре 450˚С в течении 10 часов. Образцы нагружали при температуре 140 оС, при которой все слои находились в аустенитной фазе, и охлаждали и нагревали через интервал мартенситных переходов под постоянным напряжением, величину которого варьировали от 50 до 400 МПа.
Полученные результаты показали, что изменение деформации при охлаждении и нагревании под постоянным растягивающим напряжением происходит в несколько хорошо различимых стадий. Это связано с тем, что существует неоднородное распределение никеля по слоям и различные слои претерпевает мартенситные переходы при различных температурах. Увеличение напряжения, действующего при охлаждении и нагревании, приводит как к увеличению обратимых, так и необратимых деформаций, а также к возрастанию температур мартенситных переходов. Влияние напряжения на изменение обратимой деформации и температуры превращений различно для второго и третьего с четвертым слоев. Это связано с тем, что во втором слое концентрация никеля не превышает 50,0 ат. %, поэтому его свойства близки к свойствам эквиатомного никелида титана, который характеризуется низким пределом дислокационного скольжения. Поэтому во втором слое активно накапливается необратимая деформация при охлаждении и нагревании. В третьем и четвертом слоях концентрация никеля превышает 50,0 ат. %, поэтому пластическая деформация в них затруднена.
Рашид Менналиевич Бикбаев
Национальный исследовательский Томский государственный университет, Институт физики прочности и материаловедения СО РАН
Формирование деформационного рельефа на свободной поверхности в процессе пластического деформирования является общей особенностью поликристаллических металлов и сплавов. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что морфологические изменения на поверхности происходят на всей иерархии масштабов от микро до макроуровня. Мезоуровень, исследуемый в данной работе, является связующим звеном между процессами микроуровня, где пластическая деформация обусловлена дислокационными механизмами, и макроуровнем, где макролокализация пластической деформации предшествует разрушению. Изменения на поверхности могут служить индикатором внутреннего состояния материала и, таким образом, использоваться для разработки методов неразрушающего контроля в процессе эксплуатации.
Целью настоящей работы является изучение закономерностей формирования и эволюции мезоскопического деформационного рельефа в образцах поликристаллического титана и установление корреляции рельефных характеристик со стадиями деформации. По экспериментальным профилям шероховатости, полученным методом stop-and-study [1] на разных стадиях одноосного растяжения при скоростях деформации 4∙10-5 с-1, 2∙10-4 с-1 и 1∙10-3 с-1, рассчитывался безразмерный параметр интенсивности деформационного рельефа [1]. Показано, что параметр растет нелинейно и начинает быстро увеличиваться в области образования шейки задолго до ее макроскопического проявления (рис. 1). Показано, что скорость нагружения влияет на степень неоднородности напряженно-деформированного состояния образца. Предполагается, что полученные данные о корреляции характеристик мезоскопического деформационного рельефа со степенью локальной деформации могут быть использованы для прогнозирования области локализации пластической деформации и разрушения и оценки остаточного ресурса материала.
Максим Писарев
НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова
Рассматривается задача осесимметричного динамического деформирования составных тонких оболочек вращения из несжимаемых высокоэластичных материалов в предположении произвольных перемещений и деформаций. Напряженное состояние оболочки считается двухосным. Поведение оболочки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и нелинейных алгебраических уравнений. Система дополняется начальными и граничными условиями.
Для решения задачи используется метод прямых в продольном варианте. При конечно-разностном представлении векторов ускорений и скоростей применяется неявная четырехточечная аппроксимация производных по Хуболту на сетке постоянного шага с использованием законтурных точек на первых шагах по времени. В результате исходная система уравнений динамического деформирования оболочки приводится к V канонической форме [1].
Для решения полученной нелинейной краевой задачи в обыкновенных производных используется метод дифференцирования по параметру [2]. При этом вектора обобщенной нагрузки определяются по заданным функциям распределенного давления и значению силы инерции на предыдущем шаге по времени. В соответствии с шаговой концепцией применяемого метода вводится параметр нагрузки и параметр продолжения решения. Решение нелинейной краевой задачи проводится на текущем шаге по времени в интервале значений параметра нагрузки [0; 1]. После анализа решения задачи при параметре нагрузки α=1 осуществляется переход к следующему шагу по времени.
Приведены результаты тестирования алгоритма на примере решения задачи о раздувании полусферы переменным во времени равномерно распределенным по меридиану давлением.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Москвы (проект 19-38-70005 мол_а_мос).
Екатерина Анатольевна Коровайцева
НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова
Для проведения систематизации одномерных краевых задач МДТТ выбрано направление решения задач, которое связано с необходимостью использования систем дифференциальных уравнений. Достаточность рассмотрения только одномерных задач обусловлена тем, что построение алгоритмов решения многомерных задач не вызывает принципиальных методических затруднений по сравнению со случаем одномерных задач. Независимо от типа исследуемых конструкций, при описании исходной задачи используется единая векторно-матричная форма. Привлекаемые дифференциальные уравнения могут быть двух типов: линейные и нелинейные без ограничения на диапазон исследуемых нелинейностей. В каждом из типов краевых задач рассматриваются три формы:
1) двухточечная краевая задача,
2) многоточечная неразветвленная краевая задача,
3) многоточечная разветвленная краевая задача.
Введенные в итоге шесть форм краевых задач считаются каноническими. Характерной особенностью введенной канонизации форм является выделение разрешающего вектора искомых переменных, дифференцируемого по координате, а также вектор-функции исходных значений параметров задачи.
Также построены еще шесть форм краевых задач с дополнительными алгебраическими соотношениями, являющихся наиболее употребительными при решении прикладных задач механики деформирования конструкций. Эти формы могут быть приведены к линейным каноническим с помощью тождественных преобразований (для линейных задач) либо к квазилинейным каноническим формам при составлении алгоритма решения, основанного на использовании метода дифференцирования по параметру (для нелинейных задач).
Таким образом, предлагаемая систематизация одномерных краевых задач МДТТ, основанная на использовании векторно-матричной формализации разрешающих соотношений, позволяет сократить количество требующих рассмотрения задач и разрабатываемых методик и алгоритмов их решения, одновременно повысив универсальность последних [1]. Минимально возможный круг алгоритмов решения одномерных задач МДТТ связан с шестью введенными каноническими формами, а при программировании алгоритмов решения всех рассматриваемых типов краевых задач базовыми являются лишь три программы для решения линейных задач, соответствующих первым трем каноническим формам.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Москвы (проект 19-38-70005 мол_а_мос).
Екатерина Анатольевна Коровайцева
НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова
В работе представлена методика обучения дисциплинам механики твердого тела, основанная на выделении типов решаемых задач и разработке алгоритмов решения для каждого типа. Особое внимание уделено курсам сопротивления материалов и строительной механики как важнейшим для развития навыка осознанных расчетов в инженерной и научно-исследовательской деятельности.
В рамках этой методики задачи курса сопротивления материалов аккумулированы в 22 типа, для каждого из которых сформулированы краткие алгоритмы решения [1]. Также подчеркивается единство задач расчета различных типов напряженно-деформированного состояния бруса с точки зрения их математической формулировки (рис. 1). Такой подход к обучению позволяет резко сократить объем знаний, подлежащих запоминанию, при одновременном повышении их качественного, обобщающего уровня.
Использование структурного подхода в курсе сопротивления материалов позволяет несложно перейти к обучению курсу строительной механики как центральному в воспитании умения проводить расчеты реальных конструкций. Предлагается, после ознакомления студентов с теоретическими основами курса, демонстрация единства рассматриваемых как в курсе строительной механики, так и в расчетной практике задач с точки зрения математической постановки. Так, для курса строительной механики предлагается введение трех канонических форм линейных краевых задач механики деформируемого твердого тела, которые могут описывать поведение как простейших, так и составных разветвленных конструкций. Указанные формы могут быть использованы для структуризации записи уравнений деформирования элементов конструкций любого типа.
Аналогично курсу сопротивления материалов, для каждой канонической формы представляется алгоритм решения соответствующей задачи.
Следствием такой методики обучения является как формирование комплексного структурного мышления, так и воспитание культуры научной деятельности, которая является необходимым условием защиты компьютерной поддержки научных и инженерных исследований от ошибочных действий вычислителя.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Москвы (проект 19-38-70005 мол_а_мос).
Екатерина Анатольевна Коровайцева
