НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Рассматривается электромеханическая система, которая состоит из твердого тела (имеющего форму прямоугольного параллелепипеда), соединенного с помощью пружины с постоянным магнитом. Магнит и тело могут совершать возвратно-поступательное движение вдоль неподвижной горизонтальной прямой. Магнит находится внутри катушки индуктивности, а катушка включена в цепь, выходы которой замкнуты через нагрузочное сопротивление. Соответственно, при движении магнита в цепи возникает электрический ток. Система помещена в стационарный поток среды. Воздействие потока на магнит и катушку считается пренебрежимо малым.
Исследована устойчивость положения равновесия. Проведен параметрический анализ, получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости. Путем численного моделирования были определены зависимости амплитуды и частоты колебаний тела, а также вырабатываемого тока и мощности от внешнего сопротивления и скорости потока. Показано, что в системе, поведение которой ближе к поведению системы с одной степенью свободы, амплитуда колебаний и вырабатываемая мощность меньше.
1. S. Tornincasa, M. Repetto, E. Bonisoli, F. Di Monaco. Energy harvester for vehicle tries: Nonlinear dynamics and experimental outcomes // Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2011, vol. 23, pp. 3-13.
2. T. Massai, J. Zhao, D. Lo Jacono, G. Bartoli, J. Sheridan The effect of angle of attack on flow-induced vibration of low-side-ratio rectangular cylinders // Journal of Fluids and Strustures, 2018, vol. 82, pp. 375-393.
Азим Эдгарович Курбанов
НИИ механики МГУ
Движение по воде наземных транспортных средств вызывает большой интерес. Они не только являются амфибиями, то есть могут двигаться одновременно по воде и по суше, но и при движение по воде, значительно экономят топливо. В работе рассматривается машинка с гусеницей, которая оснащена грунт зацепами и при взаимодействии с водой создаёт тягу больше, чем колесо. Рассматривается плоскопараллельное движение и во всё время объект наклонён к горизонтальной поверхности под некоторым постоянным углом (в данной задаче рассматривались малые углы наклона). Таким образом, имеется две степени свободы – это координаты центра масс. Вертикальная указывает, насколько машинка погружена в воду, изменение горизонтальной координаты – линейную скорость. Эти два параметра будут основными, при изучении движения данного объекта.
На машинку действуют сила тяжести, подъёмная сила и сила сопротивления со стороны воды на её погруженную часть, а также тяга создаваемая гусеницей. В модели учитывается погружение машинки, это приводит к изменению сил, связанных с взаимодействием с водой. Тяга и подъёмная сила моделируются на основе данных экспериментов, которые проводились на водоканале НИИ механики МГУ. Дана оценка начальной скорости и угловой скорости вращения гусеницы, при которой машинка не будет тонуть. Приведены результаты моделирования и получен диапазон значений, при которых возможно движение по поверхности воды.
Андрей Петрович Голуб
Московский физико-технический институт
ДИНАМИКА ВОЛЧКА ТИП-ТОП НА ПЛОСКОСТИ С ТРЕНИЕМ
М.А. Муницына
Московский физико-технический институт, Долгопрудный
e-mail: munitsyna@gmail.com
Рассматривается задача о движении неоднородного динамически симметричного шара на горизонтальной плоскости. Предполагается, что центр масс шара не совпадает с его геометрическим центром, но лежит на оси динамической симметрии. Считается также, что в точке контакта с плоскостью на шар действует сила и/или момент трения.
Хорошо известный качественный анализ динамики шара [1], основанный на методе обобщенных диаграмм Смейла [2,3], дополняется [4,5] приближенными уравнениями движения, описывающими динамику шара в каждой из возможных областей движения (рис. 1) в случаях классического сухого или вязкого трения, а также в случае их поликомпонентных обобщений.
Одна из обобщенных диаграмм Смейла.
h, k – значения полной энергии и величины Джеллета,
- соответствующие стационарным движениям инвариантные множества.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 19-01-00583 и Программы №29 Президиума РАН.
1. Карапетян А.В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. № 3. С. 33–41.
2. Карапетян А.В. Качественный анализ динамики диссипативных систем с симметрией на основе метода обобщенных диаграмм Смейла // Современные проблемы математики и механики. Том 2. Механика. Выпуск 2. Москва : Изд-во МГУ, 2009. С. 192–200.
3. Карапетян А.В. Обобщенные диаграммы Cмейла и их применение к задачам динамикисистем с трением // Аналитическая механика, устойчивость и управление: Тр. 10-й Междунар. Четаевской конф. Т. 1. Секц. 1. Аналитическая механика. Казань, 2012.Казань : Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. С. 247–258.
4. Муницына М.А. Переходные процессы в динамике волчка тип-топ // ПММ. 2020. Т. 84. Вып. 4. С. 433-441.
5. Карапетян А. В., Муницына М. А. Динамика волчка тип-топ при вязком трении // Труды МФТИ. 2021. Том13, №1, С. 114-121.
Мария Александровна Муницына
Волгоградский государственный технический университет
Рассматривается перемещение двухопорного робота, осуществляемое следующим образом: одна из опор 1 взаимодействует с поверхностью 5 и неподвижна, условием неподвижности является смещение груза 2 [1], массой m, взаимодействующего с упругим элементом 4, относительно середины стержня АВ (3) к одной из опор, в этот момент происходит ее фиксация, в то время как другая находится в фазе переноса, позволяя стержню поворачиваться вокруг неподвижной опоры. Затем происходит их смена, и робот изменяет направление вращения. В начальный момент времени задается скорость V0. Процесс движения подобен движению «Кельтского камня» [2].
1. Черноусько Ф.Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу//Докл. Академии Наук. 2005. Т. 405, № 1. С. 56-60.
2. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Глобальное движение кельтского камня // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. №3. С. 8-16.
Денис Владимирович Бордюгов
НИИ Механики МГУ
Рис.: Стопоходящая машина с ветроприводом
Рассматривается задача о движении стопоходящей машины Чебышева [1] с пропеллерной ветротурбиной по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости в стационарном потоке ветра, направленном вдоль линии движения корпуса. Ветроприёмная установка преобразует энергию ветра в энергию вращения и передаёт её рабочему валу стопоходящей машины (рис.1). Другие источники энергии отсутствуют. Целевым режимом является режим, при котором корпус машины перемещается против ветра с постоянной средней скоростью.
Детально описана кинематика стопоходящего механизма. В частности, показано, что вертикальные смещения центра масс на два порядка меньше характерного размера механизма. Описаны дополнительные допущения, которые позволяют рассматривать механизм как систему с одной степенью свободы.
При описании динамики системы использована квазистатическая модель аэродинамического воздействия [2].
Построена математическая модель, составлены уравнения движения в форме динамической системы второго порядка. Исследованы установившиеся режимы движения, найдены неподвижные точки и условия их устойчивости. Показано, что в некотором диапазоне параметров существует притягивающий установившийся режим движения, при котором корпус машины перемещается против ветра. Проанализировано влияние коэффициента лобового сопротивления корпуса.
1. Чебышев П. Л. Избранные труды. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1955. 929 с.
2. Локшин Б. Я., Привалов В. А., Самсонов В. А. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде. М.: Изд-во МГУ, 1986. 86 с.
Михаил Андреевич Гарбуз
Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова
Рассматривается динамическая задача о торможении при качении с проскальзыванием бесконечного неоднородного цилиндра из упругого материала по основанию из того же материала. Ось цилиндра и граница недеформированного основания горизонтальны. Центр масс цилиндра смещен относительно оси цилиндра на малую по сравнению с радиусом цилиндра величину. Взаимодействие цилиндра и основания описывается моделью Картера, являющейся решением квазистатической задачи теории упругости [1, 2]. Суммарная касательная реакция зависит от относительного проскальзывания, при малом значении которого возникает сцепление материалов в области контактного взаимодействия, в результате чего суммарная сила трения уменьшается.
Ранее была изучена аналогичная задача для однородного цилиндра [3]. Анализ торможения неоднородного цилиндра был проведен на основании невозмущенного случая с помощью метода малого параметра и теории осреднения.
Аналитически показано, что при достаточно больших значениях угловой скорости цилиндра происходит быстрое убывание проскальзывания к значениям порядка малого параметра аналогично невозмущенной системе. Дальнейшее движение системы -- квазипериодический дрейф вдоль кривой стационарных движений невозмущенной системы.
Изменение среднего периодического движения происходит вследствие диссипации энергии и проявляется при исследовании задачи во втором приближении по малому параметру. Получено автономное дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее систематическое изменение периодического движения. Было проведено численное моделирование системы и визуализация полученных результатов. Аналитические выводы полностью подтверждены численным интегрированием полной системы уравнений.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №19-01-00140.
[1] Carter F.W. On the action of a locomotive driving wheel // Proc. R. Soc. A. 1926. V. 112. P. 151—157.
[2] Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.
[3] Горячева И. Г., Зобова А. А. Динамика упругого цилиндра на упругом основании // Прикладная математика и механика. 2019. Т.83 Вып.1. С.39—46.
Алёна Николаевна Зотова
АО «ОКБМ Африкантов»
Одной из задач проектирования роторной системы на электромагнитном подвесе является определение и минимизация нагрузок, приходящих на опоры, определение прогибов и напряженного состояния её элементов. Особенности конструкции роторной системы приводят к необходимости разработки алгоритма связного решения задач управления движением и динамики ротора (см. рисунок). Приемлемых результатов моделирования в данном случае можно достичь с использованием комплекса современных программных средств и экспериментальных данных.
В докладе представлено использование технологии компьютерного моделирования вращения гибкого ротора с учетом системы управления электромагнитными подшипниками. При компьютерном моделировании роторной системы учтены особенности взаимодействия гибкого ротора с электромагнитными подшипниками и нагрузки, влияющие на его динамику. Рассмотрено возможное взаимодействие ротора со страховочными подшипниками в случае сейсмического воздействия. При этом определены параметры и особенности взаимодействия ротора со страховочными подшипниками.
1. Белов С.Е., Кодочигов Н.Г., Патрушев В.Л., Руин А.А., Соловьев С.А. Аналитические исследования динамики вращения ротора при отказе резервных подшипников // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.–2011.–№4.–С.63-64.
2. S. Malkin, D. Balandin. On stability of the electromagnetic suspension rotor in space of control parameters // Cybernetics and Physics. –2017.–Vol. 6, NO. 4.–P.147-151.
Константин Александрович Лонин
МГУ им. М.В. Ломоносова
Изучается контактное взаимодействие деформируемого колеса и недеформируемой дороги в ситуациях, когда колесо находится под действием различных видов статических нагрузок, а также при некоторых режимах движения.
«Щеточные» модели представляют периферию колеса в виде набора деформируемых элементов, стержней или пружинок [1, 2]. В отличие от моделей, основанных на методе конечных элементов, они допускают менее громоздкое математическое описание, позволяя при этом учитывать характер распределения сил в зоне контакта (ЗК), моделировать проскальзывание и ряд других эффектов, благодаря чему применяются для аналитического описания законов поведения деформируемого колеса.
В работе предложен новый механический аналог деформируемой периферии колеса, «стержневой протектор» [3], который принадлежит к классу щеточных моделей, однако опирается на иной набор гипотез нежели предшествующие модели данной группы [1, 2]. Колесо представлено твердым диском, окруженным по периметру набором радиально расположенных упругих стержней.
В зависимости от нагрузок, действующих на колесо, жесткостных и геометрических характеристик протектора, трения с дорогой, определяются границы зоны контакта, наличие или отсутствие проскальзывания, картина распределения реакций, величина, направление и точка приложения равнодействующей реакции, потери энергии за счет трения. Проводится анализ динамики колеса с учетом проскальзывания в контактной области. Рассматриваются следующие типы движения: качение без проскальзывания, качение с частичным проскальзыванием, движение «юзом».
Получены выводы о зависимости силы трения от относительного проскальзывания в ЗК (рис.): сила трения минимальна при качении без проскальзывания; она возрастает с ростом участка проскальзывания в ЗК пока не достигнет предельного значения, равного по величине силе трения скольжения. Переход к предельному значению силы трения происходит, когда начинается скольжение всей ЗК. Предельное значение силы трения пропорционально вертикальной нагрузке (весу колеса). Найденная зависимость согласуется с теорией качения Картера, которая имеет экспериментальные подтверждения.
Галина Валерьевна Гусак
ЦАГИ, МФТИ
На основе разработанных математических моделей удара/отскока и скольжения переохлажденных капель по гидрофобной поверхности сформулированы безразмерные параметры и характеристики гидрофобных покрытий. Такие покрытия эффективно работают при малых значениях числа Вебера We = HρV2/σ для капель, взаимодействующих с поверхностью тела (H характерный период рельефа поверхности, здесь ρ – плотность жидкости, σ – коэффициент поверхностного натяжения, V – нормальная компонента скорости удара капли). Однако в случае динамического воздействия жидкости льдофобные свойства могут привести к обратным эффектам из-за проникновения жидкости в углубления и отвердевания в них. Гидрофобные свойства покрытий как правило определяются краевым углом смачивания θ и связанным с ним тензором эффективной длины скольжения , преобразовав который нетрудно получить выражение для граничного условия скольжения жидкости по гидрофобной поверхности. Наряду с описанными выше параметрами противообледенительное покрытие следует характеризовать параметром, учитывающим скорость соударения переохлажденных капель и напряжением сил адгезии образующегося при отвердевании капель льда. Другим управляющим параметром является доля первоначальной массы капли, оставшейся на поверхности после ее ударе . Кроме того, если нормальная компонента скорости удара переохлажденных капель о поверхность твердого тела меньше характерного зависящего от температуры значения капли останутся в жидком состоянии и будут двигаться по поверхности обтекаемого тела не замерзая. В работе получены выражения для сил, действующих на скользящие по поверхности капли с учетом их вращения и критерии переход от режима качения в режим скольжения в зависимости от интегрального момента аэродинамической силы в пограничном слое на поверхности.
Иван Алексеевич Амелюшкин
МГУ имени М.В.Ломоносова
Была поставлена глобальная задача моделирования грудной клетки для применения в лечении пациентов с килевидной деформацией. Подобное моделирование, особенно с помощью программ конечно-элементного анализа1, является своевременным и отвечающим запросам современной медицины.
В данном исследовании была построена механическая модель плоского ребра под нагрузкой, приложенной к его концу. Модель ребра состоит из 5 абсолютно твердых стержней, соединенных между собой спиральными пружинами и расположенных в одной плоскости. Спиральная пружина в начале первого стержня препятствует повороту этого стержня в плоскости. Также начало первого стержня соединено цилиндрическими пружинами с двумя перпендикулярными друг другу неподвижными плоскостями, что моделирует податливость в синовиальном суставе головки ребра. В изначальном положении все пружины не деформированы.
Для данной системы были получены уравнения равновесия под действием плоской силы, приложенной к свободному концу ребра. При известных жесткостях пружин и геометрических параметрах ребра данная система позволит быстро вычислять деформированное состояние ребра. Геометрические параметры, а именно длины стержней и углы между ними в недеформированном состоянии были найдены с помощью специализированной медицинской программы 3D Slicer, позволяющей сегментировать необходимые области по КТ сканам пациентов. Для нахождения решения уравнений равновесия необходимо идентифицировать параметры – жесткости пружин.
Жесткости пружин находились из гипотезы равенства перемещений свободного конца ребра в стержневой модели и в модели ребра как криволинейной линейно-упругой однородной изотропной плоской балки. Перемещения в балочной модели находились численно с помощью интеграла Мора.
Также было произведено моделирование ребра в программе конечно-элементного анализа Ansys. Ребро моделировалось линейно-упругим изотропным материалом. Механические характеристики материала, такие как модуль Юнга, были взяты из литературы1. Для конечно-элементной модели было найдено напряженно-деформированное состояние. Различие перемещений свободного конца в рассмотренных моделях составляет не более 10%.
Иван Викторович Алпатов
НИУ "МЭИ"
В рамках данного исследования ставится задача построения системы уравнений динамики всенаправленной роликонесущей меканум-платформы с учетом конструкции колес, инерционности роликов и поликомпонентного контактного трения. Актуальность работы обусловлена широким применением всенаправленных платформ и отсутствием моделей динамики меканум-платформ, учитывающих инерционность роликов. При этом известно, что: конструкция колес и модель контактного трения существенно влияют на динамику меканум-платформы [1,2]; а влияние инерционности роликов на динамику омни-платформы показано в [3].
В уравнениях кинематики всенаправленных платформ, составленных при учете реальной конструкции меканум-колес, имеются периодические разрывные функции, которые зависят от углов поворота колес и возникают из-за конечного числа роликов, расположенных на периферии колес, и смены контактирующих роликов (см., например, работу [1]). В связи с указанным обстоятельством при составлении уравнений динамики меканум-платформы с учетом инерционности роликов и конструкции колес возникают проблемы с дифференцированием разрывных функций.
Работоспособность и качество разработанной модели демонстрируется на примере построения уравнений динамики платформы робота KUKA youBot, оснащенной двумя парами меканум-колес. Кинематическая схема указанной платформы изображена на рис. 1.
Рис. 1. Кинематическая схема: (а) – платформа, (б) – меканум-колесо, (в) и (г) – контактирующий ролик.
Для построения уравнений динамики используется формализм Аппеля. При получении инерционных слагаемых во избежание дифференцирования разрывных периодических функций предлагается заменить эти функции их средними значениями. Для нахождения средних значений функций, входящих в уравнения кинематики, используется метод осреднения по фазовым переменным – углам поворота контактирующих роликов. По результатам моделирования показаны отличия в траекториях движения, возникающие при учете инерционности роликов, по сравнению с результатами для модели динамики, не учитывающей инерционность роликов.
1.Adamov B.I., Saipulaev G.R. Research on the Dynamics of an Omnidirectional Platform Taking into Account Real Design of Mecanum Wheels (as Exemplified by KUKA youBot) // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16. № 2. pp. 291–307. DOI: 10.20537/nd200205
2.Б.И. Адамов, А.И. Кобрин, Г.Р. Сайпулаев. Исследование динамики всенаправленной платформы при различных уровнях детализации моделей меканум-колёс и контактных сил // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т.1: Общая и прикладная механика. 2019. С. 522–524.
3.К.В. Герасимов, А.А. Зобова. Движение симметричного экипажа на омни-колесах с массивными роликами // Прикладная математика и механика. Т. 82. Вып. 4. 2018. С. 427–440.
Гасан Русланович Сайпулаев
Кафедра теоретической механики и мехатроники, механико-математический факультет МГУ
Введение: Исследование капсульных водных роботов - одна из актуальных проблем современной науки. Такие роботы могут применяться даже в медицинских целях. Подробный обзор исследований жидких капсульных роботов можно найти в [1]. Среди классических результатов в этой области можно отметить такие работы, как [2-3].
Описание системы: Исследуется подводный капсульный робот с одиночным внутренним маховиком. Робот совершает плоскопараллельное движение. Таким образом, система имеет четыре степени свободы и один управляющий вход. Математическая модель построена в виде динамической системы 5-го порядка. Для этого применяется квазистатическая модель взаимодействия с жидкостью. Эта модель позволяет не только проводить эффективный параметрический анализ, но и выявлять особенности движения, связанные с наличием боковой составляющей гидродинамической силы. Построена стратегия управления.
Результаты: Показано, что боковая сила обеспечивает возможность необратимого движения центра масс в желаемом направлении. Таким образом, перспективно создание подводных капсульных роботов и алгоритмов управления ими на основе использования боковой силы. Результаты моделирования подтверждены экспериментами с прототипом капсульного робота. Подтверждено качественное соответствие модели и экспериментов.
Ключевые слова: подводный робот, движение внутренней массы, квазистатическая модель,
[1] KILIN A, KLENOV A, TENENEV V: Controlling the movement of the body using internal masses in a viscous liquid. Computer research and modeling 2018, 10(4):445-460.
[2] KOZLOV V, RAMODANOV S: The Motion of a Variable Body in an Ideal Fluid. Prikl. Mat. Mekh. 2001, 65(4):592–601 (in Russian).
[3] CHERNOUS'KO F: The optimal periodic motions of a two-mass system in a resistant medium. J. of Applied Mathematics and Mechanics 2008, 72(2):116-125.
Сергей Александрович Голованов
Волгоградский государственный технический университет
Исследуются способы управления движением мобильного робота с виброприводом, оказывающим периодическое силовое воздействие на движители, которые, в свою очередь, взаимодействуют с грунтом, моделируемым упруговязкой средой [1].
Управляемыми параметрами могут являться частота колебаний движителей, амплитуда колебаний движителей, амплитудное значение вынуждающей силы и скорость робота, которые являются показателями качества движения.
Денис Владимирович Бордюгов
