МГУ имени М.В.Ломоносова
Была поставлена глобальная задача моделирования грудной клетки для применения в лечении пациентов с килевидной деформацией. Подобное моделирование, особенно с помощью программ конечно-элементного анализа1, является своевременным и отвечающим запросам современной медицины.
В данном исследовании была построена механическая модель плоского ребра под нагрузкой, приложенной к его концу. Модель ребра состоит из 5 абсолютно твердых стержней, соединенных между собой спиральными пружинами и расположенных в одной плоскости. Спиральная пружина в начале первого стержня препятствует повороту этого стержня в плоскости. Также начало первого стержня соединено цилиндрическими пружинами с двумя перпендикулярными друг другу неподвижными плоскостями, что моделирует податливость в синовиальном суставе головки ребра. В изначальном положении все пружины не деформированы.
Для данной системы были получены уравнения равновесия под действием плоской силы, приложенной к свободному концу ребра. При известных жесткостях пружин и геометрических параметрах ребра данная система позволит быстро вычислять деформированное состояние ребра. Геометрические параметры, а именно длины стержней и углы между ними в недеформированном состоянии были найдены с помощью специализированной медицинской программы 3D Slicer, позволяющей сегментировать необходимые области по КТ сканам пациентов. Для нахождения решения уравнений равновесия необходимо идентифицировать параметры – жесткости пружин.
Жесткости пружин находились из гипотезы равенства перемещений свободного конца ребра в стержневой модели и в модели ребра как криволинейной линейно-упругой однородной изотропной плоской балки. Перемещения в балочной модели находились численно с помощью интеграла Мора.
Также было произведено моделирование ребра в программе конечно-элементного анализа Ansys. Ребро моделировалось линейно-упругим изотропным материалом. Механические характеристики материала, такие как модуль Юнга, были взяты из литературы1. Для конечно-элементной модели было найдено напряженно-деформированное состояние. Различие перемещений свободного конца в рассмотренных моделях составляет не более 10%.
Иван Викторович Алпатов
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Неоднородность структуры волокнистых композиционных материалов не позволяет использовать модели разрушения монолитных материалов для оценки прочности образцов из композита, поэтому существует необходимость развития новых моделей для описания процессов деформирования и разрушения композитов [1, 2]. Для оценки прочности композиционных материалов используются критерии, связанные с предельными или приведенными значениями компонент тензора напряжений [1].
Рассматривается задача об изнашивании бесконечным жёстким штампом с плоским основанием образца композита, состоящего из матрицы и волокон. Предполагается, что модули упругости волокна и матрицы близки друг к другу, а твердости их различны. В режиме установившегося изнашивания возникает равновесная форма поверхности и равновесное распределение контактного давления, которые определяются структурой композита [2]. Для заданного расположения жгутов волокон в упругом полупространстве произведен расчет распределения контактного давления и внутренних напряжений в каждой точке упругого полупространства Результаты показывают, что при постоянном радиусе жгутов волокон с уменьшением расстояния между центрами их сечений на поверхности полупространства наибольшее значение максимального касательного напряжения внутри композита смещается ближе к поверхности, и уменьшается разница между максимальными касательными напряжениями, возникающими в волокне и матрице на фиксированной глубине. Полученное распределение внутренних напряжений в композитном материале используется для анализа характера разрушения композита в рамках выбранного критерия его разрушения.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ: №19-19-00548.
1. Орешко Е.И. и др. Обзор критериев прочности материалов // Труды ВИАМ. 2019. Vol. 81, № 9. P. 108–126.
2. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия // Москва: Наука. 2001. C. 480.
Альмира Рифовна Мещерякова
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Работа металлических конструкций при повышенных температурах в условиях растяжения иногда приводит к потери устойчивости. Изучение этого процесса при повышенных температурах представляет собой большой интерес, особенно поиск момент локализации деформаций. Известные на сегодняшний день критерии появления локализации деформаций в образце можно разделить на четыре группы: три детерминированных критерия - максимальной силы [1, 2], деформационные [3] и временные критерии [4, 5], а так же критерии, основанные на глубоком машинном обучении [6] и др.
Экспериментальные испытания проводились при постоянной температуре 400°С с постоянной растягивающей нагрузкой в НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова. Разработанный бесконтактный метод измерения [7] использован для измерения параметров образца. Полученные механические характеристики моделируются градиентным бустингом и нейронными сетями по фотографиям процесса деформирования. Промоделированы: длина образца, деформация образца и время локализации деформаций.
Моделирование методом градиентного бустинга показало, что алгоритм потерял обобщающую способность уже на уменьшенном наборе данных, поэтому в дальнейшем не рассматривался. Пример зависимости p(t) для экспериментов № 13 приведен на рисунке слева.
Нейросетевой анализ продольной деформации дал общую ошибку ~10 %. Для дальнейшего снижения ошибки была построена линейная регрессия на прогнозах трех нейронных сетей с наилучшими наборами гиперпараметров. Это позволило снизить ошибку моделирования до 3,6 % на всей выборке. Пример полученного результата для эксперимента №17 приведен на рисунке справа.
Времена локализации моделировались искусственной нейросетью для размерного и безразмерного значения. Использовались нейросеть с четырьмя выходами и четыре отдельных нейросети с одним выходом. Последняя показала лучший результат – 1.5 % на всей выборке данных.
1.Hora P, Tong L, Berisha B. Modified maximum force criterion, a model for the theoretical prediction of forming limit curves. Int. J. Mater. Form., 2013; 6: 267-279. https://doi.org/10.1007/s12289-011-1084-1.
2. Aretz H. An extension of Hill’s localized necking model. Int. J. Eng. Sci., 2010; 48:312-331.
3. Martínez AJ, Vallellano C, Morales D, Garc-Lomas FJ. On the Experimental Detection of Necking in Stretch‐Bending Tests. AIP Conference Proceedings 1181, 2009; 79: 500-508. https://doi.org/10.1063/1.3273668.
4. Wilshire В, Burt Н. Long-term creep design data for forged ICr—lMo—0,25V steel. Strength, Fracture and Complexity, 2006; 4: 65-73.
5. Srinivas B, Janaki P, Ganesh R. Application of a few necking criteria in predicting the forming limit of unwelded and tailor-welded blanks. Strain Analysis for Engineering Design, 2010; 45(2): 79-96.
6. Applications of Deep Learning for Computer Vision. Retrieved from https://machinelearningmastery.com/applications-of-deep-learning-for-computer-vision; 3 May 2019.
7. Teraud WV. An experimental research of high temperature strain localization and a method for non-touch measurements at a high temperature experiments. In: Proceedings of the First International Conference on Theoretical, Applied and Experimental Mechanics. Structural Integrity. Springer, Cham, 2018; 5: 124-130.
Валентин Викторович Терауд
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)
В рамках исследования рассматривается второй этап нестационарного воздействия ударника, представленного жёстким штампом, на бесконечную мембрану. В работе рассмотрен момент механического контакта исследуемых тел. Ранее в работах [1], [2], [3] был рассмотрен начальный этап взаимодействия мембраны и жёсткого штампа с учетом влияния адгезионного давления – до момента механического контакта тел.
В работе использована модель Можи для описания сил адгезионного притяжения, возникающего между исследуемыми телами. Описание данной модели основывается на гипотезе возникновения адгезионного притяжение между телами до момента механического контакта, кода между объектами преодолевается зазор равный критическому значение hmax; предполагается, что в момент соприкосновения исследуемых тел, мембрана подвержена деформации не только в зоне контакта со штампом, но и в некоторой области вне зоны контакта, которая называется областью адгезионного притяжения.
В рамках постановки задачи перемещения границ мембраны представлены как свертка функции Грина и поверхностного давления, возникающего вследствие контакта штампа и мембраны, а также влияния адгезии. В момент контакта предполагается наличие только нормальных контактных напряжений под штампом, для определения которых были составлены и проанализированы интегральные уравнения. Данные интегральные уравнения представлены в матричном виде, что упрощает нахождение решения. На данный момент ведется разработка алгоритмов определения контактных напряжений и их реализация на ЭВМ.
[1] A. S. Okonechnikov, D. V. Tarlakovsky, and G. V. Fedotenkov Transient Interaction of Rigid Indenter with Elastic Half-plane with Adhesive Force //ISSN 1995-0802, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2019, Vol. 40, No. 4, pp. 489–498. https://doi.org/10.1134/S1995080219040115
[2] Оконечников А.С., Пашков Я.В., Федотенков Г.В. Нестационарное взаимодействие мембраны и штампа под действием адгезионных сил // Материалы ХХVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова– Вятичи, 16 – 20 марта 2020г., Т.2.–С.101.
[3] Оконечников А.С., Козел А.Г. Нестационарная контактная задача для штампа и упругой полуплоскости при учете силы адгезионного взаимодействия //XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Аннотации докладов, 19-24 августа 2019г. Уфа, – С.253
Елена Сергеевна Феоктистова
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Сейчас трудно представить нашу жизнь без волоконной оптики, ведь оптические волокна вошли во многие сферы нашей жизни. По всему миру изготавливают миллиарды километров различных типов волокон в год, и каждое волокно проходит множество испытаний, прежде чем попасть к потребителю. На ПАО «ПНППК» (Пермь) изготавливают анизотропное одномодовое оптическое волокно типа Panda. Оно используется для изготовления чувствительного контура волоконно-оптического гироскопа, рабочий диапазон температур которого составляет 
°C.
Чтобы волокно соответствовало заявленным требованиям, в технологии изготовления предусмотрены различные испытания. В рамках одного из таких испытаний волокно с натягом наматывается на алюминиевую катушку и подвергается термоциклированию, во время которого контролируются оптические характеристики.
Оптическое волокно типа Panda (рис. 1) – это гетерогенная конструкция из кварцевых стекол и двухслойного УФ-отверждаемого полимерного защитно-упрочняющего покрытия (ЗУП). В условиях нарушения термостатики на оптические и деформационные характеристики такой конструкции могут влиять различные факторы, например, существенное отличия коэффициентов линейного температурного расширения (КЛТР) как внутри кварцевой части волокна, так и с материалами ЗУП. Поэтому правильный учет физических свойств этих материалов очень важен для понимания процессов, происходящих в волокне.
Некоторые исследования [1], связанные с определением деформационных и оптических характеристик волокон, рассматриваются в рамках значительных упрощений геометрической конфигурации: без учета геометрии сечения, с использованием осредненных свойств и т.д.
В рамках предварительного анализа было выполнено исследование влияния термосилового воздействия на напряженно-деформированное состояние в анизотропном волокне и на его оптические характеристики, при однорядной силовой намотке на алюминиевую катушку при циклическом изменении температуры по заданному закону в диапазоне от -60 до 60 °C при постоянных значениях КЛТР ЗУП.
Известно, что на термомеханические свойства полимеров существенно влияет изменение температуры [2]. В данной работе была учтена зависимость КЛТР материалов ЗУП от температуры. Установлено влияние зависимости КЛТР материалов ЗУП от температуры на работу конструкции оптического волокна типа Panda: деформационные и оптические характеристики в центре светопроводящей жилы.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Пермского края в рамках научного проекта № 20-48-596009.
1. Есипенко И.А., Лыков Д.А. Численный расчет и экспериментальная верификация фиктивной угловой скорости волоконно-оптического гироскопа при нестационарном температурном воздействии на его контур // Вычислительная механика сплошных сред. 2017. Т. 10. № 3. С. 313-323.
2. Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Физика и механика полимеров: Учебное пособие. М.: Высшая школа. 1983. – 391 с.
Анна Александровна Каменских
НИИ Механики МГУ
Классическая теория эксперимента в механике деформированного твердого тела в подавляющем числе случаев предполагает возможность определения напряженно-деформированного состояния (НДС) в испытуемых образцах на основании простых соотношений по данным измеряемых в эксперименте силовых и кинематических параметров. Реализация такого рода подходов предполагает, как правило, либо предположение об однородности НДС в рабочей части образца (как в случаях экспериментов на одноосное сжатие-растяжение), либо использование дополнительных кинематических гипотез (в эксперименте на кручение сплошных или толстостенных круговых образцов). Это обстоятельство существенно ограничивает область их применимости.
В настоявшее время для исследования поведения конструкций широко используются методы прямого компьютерного моделирования. Надежность получаемых при этом результатов в первую очередь определяется качеством заложенных в расчеты математических моделей материалов (определяющих соотношений и критериев разрушения). Построение адекватных математических моделей, оснащение их материальными параметрами – основная цель экспериментальных исследований в МДТТ. Современный подход к решению задач представляет собой симбиоз натурного и вычислительного (виртуального) эксперимента с последовательным уточнение поучаемых результатов в рамках специальной процедуры.
В данной работе такого рода подход реализован для построения статических и динамических диаграмм нагружения и идентификации предельных параметров для ряда характерных авиационных сплавов в экспериментах на одноосное растяжение и простое кручение (динамических сдвиг).
Для анализа статического поведения были проведены эксперименты на растяжение (установка Zwick Z100) и на кручение сплошных круговых цилиндрических образцов. В эксперименте на растяжение приведен способ построение кривых деформирования в области неоднородного напряженно-деформированного состояния (НДС) по средствам продолжения начального участка диаграммы, где реализуется однородное НДС, в виде гладкой однопараметрической кусочно-степенной функции. При анализе эксперимента на кручение использовалась модель однородного НДС непосредственно вплоть до разрушения, достоверность которой подтверждает финальное состояние образцов.
Для исследования динамических свойств материала были проведены эксперименты на динамическое сжатие, растяжение и сдвиг с использованием метод разрезного стержня Гопкинсона (РСГ) [1]. Данные, полученные в ходе исследования, дополнялись информацией, полученной методом цифровой корреляции изображений (DIC).
В результате проведенного исследования выявлена скоростная чувствительность материалов: повышение их пределов упругости и снижение касательных модулей с ростом скорости деформаций. Также показано существенное влияние вида нагружения для некоторых материалов как на кривые нагружения, так и на величину предельной деформации.
Список литературы
1. Kolsky H. Stress Waves in Solids. — Dover Publications, 1963. — (Dover Books on Physics). — ISBN 9780486610986.
2. Моссаковский П. А., Костырева Л. А. О новом способе экспериментального исследования материалов на динамический сдвиг при высокоскоростном деформировании. — Проблемы прочности и пластичности. — 2018. Т. 80, № 1. С. 127–135.
Олеся Павловна Королькова
Институт механики МГУ
Рис. 1. а) Визуализация обтекания колеблющегося (сверху) и неподвижного (сверху) цилиндров.
б) Усиление амплитуды колебаний по сравнению с амплитудой одиночного цилиндра. Gap – зазор между поверхностями цилиндра и пластины, Spacing – смещение центра цилиндра по потоку относительно задней кромки пластины.
Плохо обтекаемые тела в потоке жидкости или газа могут совершать резонансные колебания, возникающие при сближении собственной частоты тела и частоты периодического срыва вихрей. В данной работе обсуждается эффект усиления колебаний цилиндра при нахождении его вблизи от края пластины конечной длины.
В данном исследовании рассматривается обтекание упругого цилиндра – резинового круглого шнура диаметром D = 6 мм, установленного в рабочей части аэродинамической трубы при характерных скоростях 0.4–0.65 м/с. Первичные эксперименты с изолированным цилиндром (Рис. 1а) показали хорошее соответствие ранее известным работам, максимальная относительная амплитуда колебаний составила 0.29.
Основная серия экспериментов проводилась с установленной жесткой пластиной по близости от цилиндра. Пластина имела длину 35 мм (~6D) и толщину 2 мм, ее концам была придана форма, близкая к эллипсу с полуосями 3 и 1 мм. Зоны усиления амплитуды колебаний A находились из сравнения этой величины с амплитудой колебаний A0 одиночного цилиндра.
В ходе экспериментов было обнаружено большие зоны с различным поведением цилиндра. При расположении цилиндра «над» пластиной (Рис.1б, Spacing < 0) амплитуда колебаний уменьшается по сравнению с амплитудой колебаний одиночного цилиндра, что согласуется с другими работами, исследовавшими поведение цилиндров вблизи плоскости [2]. В непосредственной близости от задней кромки цилиндра и далее по потоку (Spacing > 0) были обнаружены зоны усиления колебаний амплитуды вплоть до 40% по сравнению с одиночным цилиндром. Показано, что близость пластины модифицирует закон схода вихрей как за неподвижным, так и за колеблющимся цилиндром. Обсуждается возможные причины механизма усиления колебаний.
1.Williamson C. H. K., Govardhan R. Vortex-induced vibrations //Annu. Rev. Fluid Mech. 2004. Т. 36. С. 413-455.
2. Yang, B., Gao, F., Jeng, D. S., Wu, Y. Experimental study of vortex-induced vibrations of a cylinder near a rigid plane boundary in steady flow. // Acta Mechanica Sinica. 2009. 25(1), pp. 51–63.
Олег Олегович Иванов
ИТПМ, НГУ
Одним из принципиальных нерешенных вопросов аналитического моделирования гетерогенных сред является учет микроструктуры системы (геометрии и физических свойств фаз). Введенной математической концепцией, направленной отобразить микроструктуру гетерогенной системы, выступает производная в обобщенном смысле [1]. Соответствующая производная содержит обычную и сингулярную составляющие. Сингулярная часть выражает разрывы поля на поверхности, что является естественным следствием анализа гетерогенной среды, характеризуемой развитой системой внутренних границ, разделяющих фазы с разными физическими свойствами. Проведение осреднения результата действия на поле производной в обобщенном смысле приводит к пространственной теореме осреднения в рамках теории смесей [2]. Описание гетерогенной среды осуществляется в рамках метода условных моментов [3]. Функционал данного подхода базируется на формализме функций Грина, условном осреднении и преобразовании Фурье. Методом условных моментов удается получить осредненные уравнения с эффективными коэффициентами упругости для среды в целом и для каждой фазы отдельно. Функция Грина, определяемая действующим оператором, отображает отклик поля в среде на приложенное воздействие. Исходя из этого ее роль в анализе характера распространения исследуемого поля по неоднородной системе является ключевой. В результате модификации операторов в исходной модели линейной теории упругости функция Грина характеризует микроструктурные особенности системы. Используя преобразованный в работе метод условных моментов, получены интегралы, содержащие осредненную функцию Грина и корреляционную функцию геометрии структуры. На основании этих членов микроструктура системы интегрально учтена во входящих в осредненные уравнения эффективных коэффициентах упругости.
1. Шварц Л. Математические методы для физических наук / Пер. с франц. М.: Мир, 1965.
2. Нигматуллин Р.И. – Основы механики гетерогенных сред // М. Наука., 1978.
3. Хорошун Л.П. О математической модели неоднородного деформирования композитов // Прикладная механика. 1996. №5 Том 32. С. 22-29.
2.
3.
Алексей Владимирович Мишин
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Основной целью исследований является получение решений новых нестационарных обратных задач для упругих стержней. Задачей данного исследования является разработка и реализация новых методов, подходов и алгоритмов решения нестационарных обратных задач механики стержней. Прямая нестационарная задача для упругого стержня состоит в определении упругих перемещений, которое удовлетворяет заданному уравнению нестационарных колебаний в частных производных и некоторым заданным начальным и граничным условиям. Решение обратной задачи с неизвестным законом изменения площади поперечного сечения, базируется на методе функций влияния. С его применением обратная задача сводится к решению системы интегральных уравнений типа Вольтера I-го рода по времени относительно искомой площади поперечного сечения упругого стержня. Для его решения используется метод механических квадратур в сочетании с алгоритмом регуляризации Тихонова.
Рассматривается упругий изотропный стержень конечной длины, левый конец которого жестко закреплен, правый конец стержня свободный. На свободном конце стержня приложена сосредоточенная нагрузка, зависящая от времени. Стержень имеет переменную площадь поперечного сечения, в котором, закон распределения по координате неизвестен и подлежит идентификации в процессе решения обратной задачи. Предполагается, что в некоторой окрестности свободного конца стержня перемещения известны. На практике эта информация может поступать с датчиков измерения продольных перемещений, установленных в нескольких сечениях в окрестности свободного конца стержня. Для построения метода решения обратной задачи требуется сначала получить решения прямой задачи, в которой площадь известна и требуется определить нестационарные перемещения для упругого стержня.
В основу методики решения прямой задачи положен принцип суперпозиции, при котором перемещения и контактные напряжения связаны посредством интегрального оператора по пространственной переменной и времени. Его ядром является функция влияния для упругого стержня. Эта функция представляет собой фундаментальное решение дифференциального уравнения движения исследуемого стержня. Функция влияния находится с помощью преобразования Лапласа по времени и разложения в ряд Фурье по системе собственных функций.
В обратной задаче требуется, по данным, полученным с датчика, найти переменную площадь поперечного сечения. Решение обратной задачи сводится к решению системы независимых интегральных уравнения Вольтера I-го рода, которая является некорректной по Ж. Адамару вследствие вырожденности ядер интегральных операторов. Для регуляризации обратной задачи применяется метод Тихонова, приводящий к системе интегральных уравнений с невырожденными ядрами.
Для решения системы разрешающих интегральных уравнений разработан и реализован на ЭВМ численно-аналитический алгоритм, основанный на методе средних прямоугольников в сочетании с методом регуляризации Тихонова.
Яна Андреевна Вахтерова
НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова
В работе предлагается использование метода автоматической сегментации для контроля точности решения нелинейных краевых и начально-краевых задач механики тонкостенных конструкций. Суть метода заключается в проверке выполнения математического равенства, доказанного в теории дифференциальных уравнений. Известно, что если в начальной точке интервала интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений нормированные интегральные матрицы исходной и сопряженной систем ортогональны, то они будут ортогональны и при любом значении аргумента интегрирования. Поэтому в методе автоматической сегментации для контроля точности решения краевой задачи используется проверка выполнения указанного условия ортогональности.
При решении нелинейных задач предлагается использование метода автоматической сегментации в рамках реализации алгоритма, основанного на применении метода дифференцирования по параметру, т.е. сведении исходной нелинейной задачи к совокупности взаимосвязанных квазилинейной краевой и нелинейной начальной задач. При этом в начале каждого шага по параметру проверяется выполнение условия ортогональности нормированных интегральных матриц исходной и сопряженной систем дифференциальных уравнений, соответствующих квазилинейной краевой задаче, с заданной вычислителем точностью. Сегментация интервала интегрирования проводится в точках, в которых указанное условие нарушается.
Показано применение метода для решения задач как статического, так и динамического деформирования мягкооболочечных конструкций. При этом в последнем случае автоматическая сегментация участка интегрирования проводится в начале каждого шага по времени. Отмечено улучшение сходимости итерационных процессов, а также уменьшение погрешности решения тестовых задач при использовании метода автоматической сегментации.
Екатерина Анатольевна Коровайцева
ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, СПбПУ им. Петра Великого
Исследование деформаций и напряжений несоответствия, связанных с полупроводниковыми наногетероструктурами сложной архитектуры, является важной проблемой материаловедения и наномеханики. Эти деформации и напряжения определяются различиями параметров решетки и коэффициентов теплового расширения контактирующих материалов, а также их химическими неоднородностями. Снижение напряжений несоответствия за счет образования различных дефектов часто сопровождается ухудшением функциональных свойств гетероструктур и их последующим разрушением. Поэтому тщательный анализ напряжений несоответствия в гетероструктурах с учетом их реальной формы огранки имеет большое значение для создания бездефектных полупроводниковых устройств с повышенными характеристиками. С этой целью мы нашли аналитическое решение краевой задачи в классической теории упругости для клиновидного тела, содержащего прямолинейную нить, подверженную трехмерному растяжению собственной деформации, которая является так называемой «дилатационной нитью».
Для определения поля напряжений этого дефекта введем функцию напряжений Эйри в виде суммы ψ = ψel + ψpl, где ψel - аналитическое решение бигармонического уравнения в упругой задаче для клина, а ψpl - частное решение, которое соответствует дилатационной нити. Интегральное преобразование Меллина используется для вывода системы уравнений для функции напряжения Эйри. В результате желаемые компоненты напряжения находятся в интегральной форме по мере обратного преобразования Лапласа-Меллина [1]. Анализ полученного решения проводился численно с использованием графиков напряжений.
Примеры двух графиков напряжений показаны на рис. 1 для случая r = 0.5r0 и различных значений угла раскрытия клина 2β. Графики показывают, в частности, выполнение граничных условий на свободных поверхностях тела.
Найденное решение удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям на свободных поверхностях клиновидного тела. Свободные поверхности сильно влияют на распределение поля напряжений.
Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 19-29-12041.
1.Gudkina Z. V. et al. The misfit stresses of dilatation line in semiconductor nanoheterostructures with angular boundaries //Journal of Physics: Conference Series. – IOP Publishing, 2020. – Т. 1695. – №. 1. – С. 012014.
Жанна Вадимовна Гудкина
ФГБОУ ВО «Финансовый университет при Правительстве РФ», г.Москва; ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный аграрный университет», г.Волгоград
В расчете произвольно нагруженной оболочки вращения (Рис.1) при шаговом процессе нагружения используется метод конечных элементов (МКЭ) в смешанной формулировке при учете физической нелинейности на основе теории пластического течения.
В качестве конечного элемента выбрана в глобальной системе координат призма с треугольным основанием. Узловыми неизвестными приняты приращения перемещений и приращения напряжений. Для выполнения численного интегрирования по объему конечного элемента он отображается на локальную призму с основанием в форме равнобедренного треугольника (координаты 
) с координатой 
по высоте, изменение которой выражается неравенством 
.
Для выражения глобальных координат через их узловые значения использовались линейные функции от координат [1] и линейные функции от координаты [1]. Такие функции использовались и для аппроксимации как приращений перемещений внутренней точки конечного элемента через их узловые значения, так и для приращений напряжений.
Определяющие уравнения на шаге нагружения принимались на основе теории пластического течения. Полные приращения деформаций являются суммой деформаций упругих и пластических [2]. Приращения упругих деформаций получались на основе закона Гука. Приращения пластических деформаций определялись на основе гипотезы о пропорциональности приращений пластических деформаций компонентам девиатора полных напряжений. Коэффициент пропорциональности при этом является функцией отношения приращения интенсивности напряжений к интенсивности напряжений. Приращения интенсивности напряжений представлялись в общем виде зависимостью от приращений напряжений. После чего в матричном виде формировались соотношения между полными приращениями деформаций и приращениями напряжений.
Матрица напряженно-деформированного состояния конечного элемента на шаге нагружения формируется с использованием функционала, основанного на равенстве возможных и действительных работ внешних и внутренних сил с заменой в нем действительной работы внутренних сил разностью полной работы приращений напряжений и их дополнительной работы [3].
После подстановки в функционал определяющих уравнений в матричном виде и аппроксимирующих выражений искомых величин (приращений перемещений и приращений напряжений) выполняется его минимизация по узловым неизвестным, в результате чего получается матрица напряженно-деформированного состояния конечного элемента на шаге напряжения.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Волгоградской области в рамках научного проекта № 19-41-340004 р_а.
Виталий Рябуха
Санкт-Петербургский государственный университет
Представлены результаты лабораторного исследования нагружения цилиндрического образца из полиметилметакрилата (ПММА) с использованием электрического взрыва проводников. Разработана математическая модель построения профилей радиального напряжения в образцах и их эволюции в процессе распространения ударноволнового импульса в среде.
Проведено сравнение расчетных профилей радиального напряжения с экспериментально измеренными профилями. Дан анализ затухания ударноволнового процесса при различных длительностях импульса нагружения.
Ольга Константиновна Зайченко
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
В настоящей работе рассмотрена полярно-симметричная задача механодиффузии, состоящая в аналитическом определении параметров НДС (напряженно-деформированного состояния) сплошного одномерного многокомпонентного однородного ортотропного цилиндра, находящегося под действием нестационарных радиальных объемных возмущений. Поверхность цилиндра предполагается свободной от нагрузок и на ней поддерживается постоянный уровень концентрации диффузантов. В задаче учитывается время релаксации диффузионных потоков, подразумевающее конечную скорость распространения диффузионных возмущений. Математическая постановка задачи включает в себя дифференциальное уравнение движения, закон сохранения массы в локальной форме, а также N уравнений массопереноса, вызванного диффузией [1–4].
Решение задачи ищется с помощью метода эквивалентных граничный условий [5]. Для этого рассматривается вспомогательная задача, решение которой получается с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени и разложения искомых функций в ряды Фурье по специальным цилиндрическим функциям Бесселя нулевого и первого порядков. Далее строятся соотношения, связывающие правые части граничных условий исходной и вспомогательной задач. Эти соотношения представляют собой систему интегральных уравнений Вольтерра I-го рода. Решение такой системы осуществляется численно с помощью квадратурных формул средних прямоугольников.
1.Deswal S., Kalkal K. K., Sheoran S. S. Axi-symmetric generalized thermoelastic diffusion problem with two-temperature and initial stress under fractional order heat conduction // Physica B: Condensed Matter. – 2016. – Vol. 496. – P. 57–68.
2. Aouadi M. A problem for an infinite elastic body with a spherical cavity in the theory of generalized thermoelastic diffusion // International Journal of Solids and Structures. – 2007. – Vol. 44. – P. 5711–5722.
3. Зверев Н. А., Земсков А. В. Модель механодиффузии для сплошного ортотропного цилиндра с учетом релаксации диффузионных процессов // 19-я Международная конференция Авиация и космонавтика. 23–27 ноября 2020 года. Москва. Тезисы. – Перо Москва, 2020. – С. 458–459.
4. Зверев Н. А., Земсков А. В., Тарлаковский Д. В. Моделирование нестационарных связанных механодиффузионных процессов в изотропном сплошном цилиндре // Проблемы прочности и пластичности. – 2020. – Т. 82, №2. – С. 156–167.
5. Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Method of the equivalent boundary conditions in the unsteady problem for elastic diffusion layer // Materials Physics and Mechanics, 2015, No 1, Vol 23, pp. 36–41.
Николай Андреевич Зверев
Институт вычислительного моделирования СО РАН
Импульсные электромагнитные источники всё более широко применяются в сейсморазведке. Малогабаритность импульсных источников позволяет проводить разведку в таких труднодоступных местах, как тундра, тайга, районы с вечной мерзлотой. Благодаря своим конструктивным особенностям, установки такого типа способны эффективно преобразовывать потребляемую энергию в механическую.
В данной работе рассматривается плоскослоистая модель грунта с однородными изотропными слоями. Чтобы описать волновые движения в такой среде, будем рассматривать задачу динамики деформируемого твёрдого тела в двумерной осесимметричной постановке. Численный алгоритм основан на методе двуциклического покомпонентного расщепления. На этапах расщепления возникают одномерные задачи вдоль направлений осей, для решения которых применяется ENO-схема, основанная на методе распада разрыва С. К. Годунова.
Численные эксперименты проведены при использовании разработанного комплекса программ для многопроцессорных вычислительных систем. На рисунке изображены волновые поля в однородных средах после импульсного воздействия сейсмоисточником. Слева показаны линии уровня вертикальной компоненты скорости в однородной упругой среде, а справа в вязкоупругой среде, описываемой моделью Пойнтинга-Томсона.
Евгений Александрович Ефимов
