Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского (ЦАГИ)
Моделирование нестационарных дисперсных течений в неоднородных средах, и их взаимодействием с обтекаемым телом представляет большой научный и практический интерес в широком спектре областей науки и техники. Сложность строго математического моделирования стохастической динамики множества тел в градиентных средах и стохастический характер их траекторий в градиентных средах при экспериментальном исследовании продиктовали построение новых подходов в математическом и численном моделировании динамики таких течений. Кроме того, построена система уравнений стохастической динамики частиц естественного происхождения, которые имеют возможность самостоятельно перемещаться под действием градиента тепла, освещенности, поддерживать постоянную температуру и уклоняться от столкновений с препятствиями. Определены безразмерные управляющие параметры подобия таких течений. Развиты численные алгоритмы молекулярного моделирования управления взаимодействием дисперсных систем и реальных газов с поверхностью твердых тел, обладающих различной степенью гидрофобности. В частности, аналитически получены зависимости коэффициентов восстановления нормальных компонент скорости молекул от поверхности твердого тела в зависимости температуры Дебая, температуры и безразмерного параметра AK= εw-m/εm-m ≈ 0.5(1+cosθ), который можно трактовать как отношение энергий εw-m взаимодействия между молекулой потока и атомом поверхности к характерной энергии εm-m взаимодействия молекул потока между собой, θ – угол смачивания. Полученные решения существенно сокращают объем вычислительных ресурсов при расчете коэффициентов отскока частиц от поверхности твердых тел. Кроме того, в представленном исследовании получена статистическая диаграмма, показывающая вероятность кристаллизации переохлажденной метастабильной жидкости при различных количествах и интенсивности механических воздействий.
Иван Алексеевич Амелюшкин
ФГБОУ ВО УрГУПС
Рассматриваются двумерные изэнтропические течения в условиях действия силы тяжести. В качестве математической модели используется система уравнений газовой динамики. Для постановки задачи о распаде специального разрыва в системе делается вырожденная замена переменных, а именно: зависимые и независимые переменные меняются ролями [1]. В новых переменных для системы ставится начально-краевая задача с данными на звуковой характеристике и дополнительным условием. Доказывается теорема существования и единственности поставленной начально-краевой задачи в окрестности звуковой характеристики. Численно моделируется закон движения звуковой характеристики, отделяющей волну разрежения от неоднородного покоящегося газа.
Далее решение строится в виде степенных рядов. Для определения коэффициентов рядов выписываются и интегрируются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ структуры коэффициентов рядов позволил доказать существование построенного решения в области от звуковой характеристики до границы газ-вакуум включительно. Для определения закона движения границы газ-вакуум выписывается квазилинейная система уравнений с частными производными, которая с помощью характеристического параметра сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Численно моделируется закон движения свободной границы, отделяющей волну разрежения от вакуума.
Анна Сергеевна Кирьянова
МГУ им. М.В. Ломоносова
Рассматривается система уравнений одномерной мелкой воды над неровным дном. Для этой системы уравнений был найден новый закон сохранения, дополнительный к двум основным. Были также найдены все гидродинамические законы сохранения и симметрии для произвольных профилей дна. Система уравнений одномерной мелкой воды над наклонным дном связана точечным преобразованием с линейной системой уравнений, которая может быть получена из исходной формальным отбрасыванием нелинейных слагаемых. В данной работе рассматривается класс алгебраических точных решений линеаризованной системы уравнений одномерной мелкой воды над наклонным дном, который позволяет получить класс точных решений нелинейной мелкой воды с помощью этого преобразования. Описаны эффекты заплеска и усиления амплитуды при отражении волны от берега.
Константин Павлович Дружков
МГУ им. М.В. Ломоносова
Проблема дифракции ударной волны на клине, впервые описанная еще в XIX веке Махом, по сей день является не до конца изученной, несмотря на многочисленные экспериментальные, численные и теоретические исследования, проводимые в этой области. Самая полная на данный момент классификация различных автомодельных конфигураций регулярного и маховского отражения приведена в [1]. В зависимости от определяющих параметров задачи (числа Маха ударной волны, показателя адиабаты газа и угла клина) в расчетах и экспериментах [1] наблюдались различные конфигурации с ординарным, двойным и даже тройным маховским отражением.
В настоящей работе исследованы конфигурации, характеризующиеся отрицательным углом наклона отраженного скачка [2] (скачок расположен ниже траектории движения тройной точки). Численные расчеты выполнены с использованием TVD модификации явной схемы МакКормака [3]. Расчетная область повернута так, что горизонтальная ось направлена вдоль образующей клина, а падающая ударная волна наклонена на угол клина (Рис. 1). В начальный момент ударная волна проходит через вершину клина, и параметры течения определяются соотношениями Рэнкина-Гюгонио на скачке. В процессе расчета поддерживаются граничные условия на левой и верхней границе, соответствующие движению ударной волны с известным числом Маха.
Обнаружен новый автомодельный режим многократного (четырехкратного) маховского отражения, характеризующийся ветвлением ударно-волновых конфигураций (Рис. 1). Для умеренных значений числа Маха режим реализуется в газах с показателем адиабаты близким к единице. Выполнение условия автомодельности проверялось сравнением распределений параметров в различные моменты времени. Проведено исследование перехода от нового режима отражения к регулярному отражению при изменении угла клина. Определены границы существования конфигураций многократного отражения при изменении показателя адиабаты газа.
Работа выполнена под руководством П.Ю. Георгиевского при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект 18-01-00793-а).
Андрей Николаевич Максимов
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Молнии, образующиеся в пепловой колонне – довольно частое явление, происходящее во время крупных эксплозивных извержений. Вулканические молнии образуются в процессе электризации и пространственного разделения разноимённо заряженных частиц пепла при достижении некоторой критической разности потенциалов. Предполагается, что электризация частиц происходит за счёт трения и столкновения частиц [1].
В этой работе строится модель движения и взаимодействия заряженных частиц разного размера. Для моделирования движения частиц в потоке газа используется лагранжев подход. При движении на частицы действуют гидродинамические силы со стороны потока газа, электростатические силы со стороны других частиц и внешние силы (со стороны Земли). В результате столкновения частиц могут измениться их скорости и заряды. Проводится исследование влияния различных параметров на движение заряженных частиц: концентрации частиц в смеси, доли крупных частиц, начальных зарядов частиц.
В результате исследования показано, что при достаточно высоких концентрациях необходимо учитывать столкновение частиц. Получено, что частицы могут приобрести существенный заряд (при нулевых начальных зарядах) только за счёт их столкновений.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 16-05-00004 А
1. Горохова Н. В. Формирование вулканических молний в пепловой колонне // Всероссийская конференция молодых-ученых механиков, 5 - 15 сентября 2017 г., Сочи, "Буревестник" МГУ, Тезисы докладов. 2017.
Наталья Владимировна Горохова
Национальный исследовательский Томский государственный университет
В работе проведено численное моделирование естественной конвекции в частично пористой полости с использованием неравновесной тепловой модели. Рассматривается замкнутая квадратная полость, содержащая пористую вставку высоты h и теплогенерирующий теплопроводный источник энергии на нижней стенке. Горизонтальные стенки области теплоизолированы, боковые поддерживаются при постоянной температуре охлаждения. Область заполнена ньютоновской теплопроводной жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссинеска. Вязкость рабочей среды зависит от температуры по экспоненциальному закону [1]. Считается, что температура пористой вставки отлична от температуры жидкости, и моделирование ведется в рамках тепловой локально-неравновесной модели. Для описания пористого изотропного слоя используется модель Дарси-Бринкмана.
Уравнения, описывающие теплоперенос в рассматриваемой области, решались в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность – температура». На границах раздела сред (чистая среда/пористая среда, пористая среда/источник энергии) реализованы граничные условия четвертого рода.
Полученные результаты позволяют прогнозировать поведение пассивных охлаждающих систем для электронных устройств различного типа в первом приближении. Благодаря фундаментальному характеру исследования и широкому диапазону определяющих параметров рассмотрены различные варианты взаимодействия жидкой и пористой среды, рабочих сред, а также мощностей тепловыделителя. Установлены основные зависимости между выбранными параметрами и эффективностью теплоотвода от источника.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 17-79-20141).
1. Astanina M. S., Sheremet M. A., Umavathi J. C. Unsteady natural convection with temperature-dependent viscosity in a square cavity filled with a porous medium // Transport in Porous Media. – 2015. – Vol.110 – No. 1. – P. 113–126
Марина Сергеевна Астанина
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Молнии, образующиеся в пепловой колонне – довольно частое явление, происходящее во время крупных эксплозивных извержений. Вулканические молнии образуются в процессе электризации и пространственного разделения разноимённо заряженных частиц пепла при достижении некоторой критической разности потенциалов. Предполагается, что электризация частиц происходит за счёт трения и столкновения частиц [1].
В работе рассматривается течение однородного потока газа с частицами, имеющими разные диаметры (100 и 500 мкм) и заряды. Для моделирования движения частиц в потоке газа используется лагранжев подход. Учитывается взаимодействие заряженных частиц и возможность их столкновения и передачи электрического заряда. Проводится исследование влияния различных параметров: концентрации частиц в смеси, доли крупных частиц, начальных зарядов частиц.
В результате исследования показано, что при достаточно высоких концентрациях необходимо учитывать столкновение частиц. Получено, что частицы могут приобрести существенный заряд (при нулевых начальных зарядах) только за счёт их столкновений.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 16-05-00004 А
1. Горохова Н. В. Формирование вулканических молний в пепловой колонне // Всероссийская конференция молодых-ученых механиков, 5 - 15 сентября 2017 г., Сочи, "Буревестник" МГУ, Тезисы докладов. 2017.
Наталья Владимировна Горохова
ООО "Вычислительная инженерная платформа"
Проект «Живое сердце» - международный проект SIMULIA, в который вовлечены инженеры, медики и ученые со всего мира для работы над реалистичным моделью сердца. Предполагается, что эта модель будет применяться в образовании, конструировании медицинских аппаратов, клинической диагностики реального сердца, а также тестировании уже существующих и будущих инновационных решений, призванных значительно улучшить жизнь человека, страдающего различными пороками сердца.
При разработке стентов, искуственных клапанов или планировании операций на сердце, необходимо моделировать нагруженное состояние устройств и приборов в сложнызх нестационарных условиях. Применение программных комлпексов Abaqus-FlowVision позволяет наиболее точно предсказать поведение перспективного устройства под дейтсвием сложной гидродинамической нагрузки.
Владимир Сергеевич Каширин
БГУ
С целью изучения процессов центробежного литья металлов в работе исследовано неизотермическое плоское движение слоя вязкой жидкости на внутренней поверхности горизонтального вращающегося с постоянной угловой скоростью цилиндра в поле сил поверхностного натяжения, гравитации и инерции.
Решение изотермической задачи рассмотрено в [1-3]. Движение вязкой жидкости рассматривается в относительной полярной системе координат, связанной с вращающимся цилиндром, и описывается уравнениями Навье-Стокса с переменной вязкостью, энергии, неразрывности и неизвестной свободной поверхности. В уравнении энергии учтены конвективные составляющие и диссипативные члены. В случае достаточно быстрого вращения цилиндра получены уравнения первого приближения, подобные уравнениям пограничного слоя. Решения полученной системы ищется прямым методом с учетом граничных условий прилипания на поверхности цилиндра, отсутствия вязкого заимодействия с окружающей средой на свободной поверхности и теплообменом по условиям 3-его рода.
В результате исследований получена и численно решена система дифференциальных уравнений в частных производных определения эволюции свободной поверхности плоского слоя конечной толщины при умеренных и больших числах Рейнольдса Re в поле центробежных сил с учетом изменяющегося температурного поля в жидкости. Проведены сравнения с экспериментами и результатами исследования изотермической задачи. Учет нелинейного взаимодействия возмущений позволил проследить за механизмом эволюции поверхности слоя. Основной причиной распада слоя на внутренней цилиндрической вращающейся цилиндрической поверхности является гравитационная неустойчивость, вызванная значительным влиянием силы тяжести по сравнению с центробежными силами.
Анастасия Геннадьевна Макоед
БГУ, Минск
Струйные течения жидкости встречаются в различных технологических процессах. Так, процесс производства минеральной ваты дутьевым способом состоит в разрушении струи минерального расплава высокоскоростным газовым потоком со скоростью около
200 м/с. Чтобы увеличить интенсивность распада струй, предлагается повышать внешнее давление.
Теории струйных течений посвящено достаточно большое количество работ [1,2]. В книге [3] отражены исследования устойчивости капиллярных струй в линейном приближении, а также в нелинейном случае без учета внешнего воздействия. В данном исследовании рассматривается нелинейное развитие осесимметричных капиллярных волн, возникающих в струе жидкости при наличии переменного по времени внешнего давления после потери устойчивости. Исследования течения проводится на основе приближения пограничного слоя в случае достаточно длинных волн, когда составляющие скорости зависят только от осевой координаты. Это позволяет перейти к изучению невязкого струйного течения. Решение полученной системы в относительной движущейся с фазовой скоростью волны системе координат ищется в виде разложения в ряд Фурье с членами до второго порядка включительно. Выведенные эволюционные уравнения исследуются численно методом Рунге-Кутта с постоянным шагом по времени при различных начальных возмущениях.
Наиболее неустойчивыми являются длинноволновые возмущения с 0 < α < αопт, где αопт = 0.7, что примерно соответствует максимально растущим возмущениям по линейной теории устойчивости. При начальных значениях времени и модах с 0 < α < αопт возмущения достаточно малы, и форма поверхности близка к гармонической. С ростом времени становится заметна роль второй гармоники на развитие возмущений. Колебания становятся нелинейными и видно образование второго максимума на длине волны. Наличие второго максимума поверхности определяет возможность образования капель разного размера, что наблюдается в действительности при распаде струй. С учетом полученных результатов можно сделать вывод о том, что с увеличением влияния внешнего давления время распада струи на капли, когда в ней появляются перетяжки, уменьшается, и возмущения развиваются более интенсивно. При волновых числах с αопт < α < 1 с ростом времени возмущения возрастают, но форма поверхности остается близка к гармонической. Если α > 1, то течение становится устойчивым. С увеличением начального возмущения поверхности струи время распада уменьшается.
В результате исследований определены области неустойчивых возмущений, форма поверхности струи, продольная и радиальная составляющие скорости течения. Найдено время распада в зависимости от начальных возмущений поверхности и волнового числа. Следует отметить, что определение формы слоя позволяет вычислить ускорения точек поверхности, которые используются в формуле расчета диаметра струй при дутьевом способе образования минеральных волокон [4,5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Шкадов В.Я., Маркова М.М. Нелинейное развитие капиллярных волн в струе жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ,1972, №3, с.30-37.
2. Чесноков Ю.Г. Нелинейное развитие капиллярных волн в струе вязкой жидкости //Журнал технической физики, 2000, т.70, вып.8, с.31-38.
3. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Ин-т механики МГУ. Научн. тр.- М., 1973. Вып. 25. - 192 с.
4. Кулаго А.Е., Конон П.Н. Определение ускорений точек поверхности возмущенной струи Сб. трудов ВНИПИ Теплопроект «Конструкция и строительство специальных сооружений».-М.,1983.- C. 39-48.
5. Конон П.Н., Макоед А.Г. Исследования струйных течений жидкости с учетом внешнего воздействия// Международный научно-технический журнал «Теоретическая и прикладная механика». Минск -2018.- Вып. 33. - С.426-429.
Анастасия Геннадьевна Макоед
Финансовый университет при Правительстве РФ
Известно, что при эксплуатации ионоселективных поверхностей возникает один из трех токовых режимов: допредельный (омический), предельный или сверхпредельный [1]. Большинство изученных сценариев возникновения сверхпредельных токов были рассмотрены из предположения идеальности ионоселективной мембраны [1, 2], а различные виды неидеальности мембраны рассматривались как небольшие количественные поправки к уже изученным явлениям. Однако, как показали последние исследования [3, 4], в неидеальных мембранах действуют качественно новые механизмы возникновения неустойчивости. Эти механизмы становятся еще более выраженными для концентрированных растворов электролитов, поведение которых гораздо менее изучено. Так, было показано, что наряду с электрокинетической неустойчивостью, которая вызвана электроосмотическим скольжением на границе зоны пространственного заряда, в системе с неидеальной мембраной также присутствует объемная неустойчивость.
На рисунке представлена карта режимов для двух ключевых параметров: число Дебая ν (отношение толщины двойного электрического слоя к толщине мембраны) и безразмерного заряда мембраны N(отношение заряда мембраны к равновесной концентрации ионов в электролите). На фоне цветом обозначено критическое значение безразмерной разности потенциалов (отношение разности потенциалов и термического потенциала). Кривая 1 разделяет области монотонной (I, II) и колебательной (III, IV) неустойчивостей, а кривая 2 – области равновесной (II, III) и неравновесной (I, IV) неустойчивостей. Для мембран с достаточно большим зарядом, которые близки к идеальным, всегда реализуется только классическая неравновесная электрокинетическая неустойчивость, в то время как с уменьшением заряда мембраны или увеличением концентрированности электролита проявляются новые равновесные и колебательные механизмы неустойчивости.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ 18-08-01158-а и Министерства образования и науки Краснодарского края, проект № 16-48-230107-р_а.
Георгий Сергеевич Ганченко
ННГУ им. Н. И. Лобачевского
Исследование устойчивости стационарного вращения роторных систем с жидкостью представляет интерес как с общетеоретической, так и с прикладной точек зрения. Ранее был разработан оригинальный метод исследования устойчивости таких систем [1]. Предполагалось, что ось вращения ротора расположена в изотропных вязкоупругих закреплениях, а угловая скорость вращения поддерживается постоянной. В дальнейшем метод удалось обобщить и распространить на системы с анизотропными закреплениями оси ротора [2]. В работе [2] установлено влияние анизотропии жесткости закреплений оси ротора на форму границ областей устойчивости в пространстве параметров.
В данной работе исследуется устойчивость режима стационарного вращения типичной роторной системы с жидкостью, имеющей вязкоупругие закрепления оси ротора с анизотропией сил вязкости. Приведены примеры построения границ областей устойчивости в пространстве параметров и отмечено возникновение механических эффектов, вызванных анизотропией закреплений оси ротора.
1. Дерендяев H.В. Устойчивость вращения роторных систем, cодержащих жидкость: Монография. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2014.- 154 с.
2. Дерендяев Н. В., Дерендяев Д. Н. Исследование устойчивости стационарного вращения роторных систем с жидкостью. Труды Международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные задачи механики». – Москва: изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017.- 222 с.
Дмитрий Николаевич Дерендяев
НИИ механики МГУ им. Ломоносова
Традиционно течение магмы в канале вулкана описывается в рамках одномерных или квазиодномерных моделей с учетом зависимости вязкости от концентрации кристаллов и растворенной воды, температуры, возможности проскальзывания магмы вдоль стенок канала, неравновесной кристаллизации, оттока газа сквозь магму и в окружающие породы. В таких моделях профиль скорости считается параболическим и производится осреднение параметров поперек канала. Однако, за счет переменности свойств магмы поперек канала профиль скорости может существенно отличаться от параболического. В статье результаты расчетов по квазидвумерной модели сравниваются с одномерными. Показано существенное отличие как локальных характеристик, так и интегральной зависимости расхода магмы от давления в очаге.
Определяющие влияние на динамику вулканического извержения оказывает эволюция вязкости при подъеме магмы по каналу вулкана. При эксплозивном (взрывном) извержении нижняя часть канала занята пузырьковой жидкостью, верхняя – газовзвесью. Вязкость несущей фазы меняется скачкообразно при фрагментацими магмы [1]. При экструзивном извержении магма поднимается к поверхности без фрагментации, ее вязкость сильно увеличивается за счет выделения растворенного газа и кристаллизации. При больших концентрациях кристаллов магма проявляет неньютоновские свойства, ее вязкость зависит от скорости сдвига [2] так же наблюдается проскальзывание магмы по стенкам канала.
1. Ю.Б. Слезин, Динамика дисперсионного режима вулканических извержений: 1. Теоретическое описание движения магмы в канале вулкана. Вулканология и Сейсмология, 1983, № 5, с. 9-17.
2. Caricchi L. et al. Non-Newtonian rheology of crystal-bearing magmas and implications for magma ascent dynamics //Earth and Planetary Science Letters, 2007, Т. 264, №. 3-4, С. 402-419.
Юлия Дмитриевна Цветкова
Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова
Известно, что при обтекании точечного источника (рис.1) с массовым расходом ρQ набегающим потоком со скоростью V, на источник будет действовать сила -ρQV. При движении сферической плавящейся частицы в собственном расплаве также необходимо учитывать изменение размеров частицы. Учет этих эффектов приводит к тому, что в уравнения движения частицы необходимо вводить реактивную силу, которая может существенно влиять на характер движения, как это было отмечено в [1] для случая идеальной жидкости. В работе [2] показано, что при наличии достаточно большого перепада температуры между частицей и расплавом данная сила может превышать силу вязкого сопротивления, что приводит к ускорению. частицы. Получен простой критерий, определяющий характер движения частицы в зависимости от относительного перепада температуры, числа Прандтля и относительной разности плотностей расплава и частицы.
На основании выведенных уравнений решается задача о случайном движении частицы, причём плавящейся за конечное время. Обнаружено, что среднеквадратичное отклонение такой частицы от начального положения за время плавления может быть даже неограниченно велико при больших перепадах температуры.
Уравнения движения частицы в вязком расплаве при отсутствии внешних сил допускают интеграл движения, учитывающий изменение кинетической энергии, который может быть использован при построении общей статистической теории плавящихся частиц. Решается уравнение Лиувилля для системы невзаимодействующих частиц и выводится выражение для давления как функции плотности сохраняющегося числа частиц и общей равновесной температуры расплава. В результате получена гиперболическая система уравнений движения континуума частиц на фоне механических и тепловых параметров расплава.
Для исследования особенностей движения континуума частиц решаются одномерные задачи с плоскими волнами: об однородном движении плавящихся частиц при нестационарном изменении температуры неподвижного расплава, а также о стационарном движении при постоянной температуре, проявляющая свойство запирания, связанное с невозможностью перехода через скорость звука, аналогичная газодинамической задаче о точечном источнике.
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 17-01-00037.
1. А. Н. Голубятников. О взаимодействии плавящихся частиц о моделировании гравитации. // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011. №4 (3). С. 728-729.
2. О. О. Иванов. К движению плавящейся частицы. // Вестник Московского университета. Сер. Математика. Механика, 2018 (в печати).
Олег Олегович Иванов
ФГУП "ЦАГИ"
Изучение динамики вихревого кольца представляет большой интерес, так как вихревое кольцо позволяет исследовать механизмы образования шума в турбулентных течениях. Этот объект легко может быть создан в опыте для экспериментального исследования и допускает теоретическое описание как стационарных, так и колебательных режимов. В то же время, теоретическое изучение динамики вихревого кольца в виду ее сложности проводится лишь в приближении тонкого вихревого кольца [1]. Параметр тонкости вихревого кольца определяют, как отношение характерного радиуса сечения ядра вихревого кольца к радиусу вихревого кольца (рис. 1). Из всевозможных течений выделяется движение изохронного вихревого кольца, для которого период обращения жидких частиц внутри ядра вихревого кольца постоянен. Для такого вихревого кольца отсутствуют возмущения непрерывного спектра, что существенно облегчает проведение аналитических расчетов [2].
В этой задаче применяется подход, основанный на использовании поля смещения [3] как основной функции. Для исследования малых колебаний вихревого кольца этот подход использовался в работе [2], где впервые были правильно описаны бочкообразные моды вихревого кольца, а затем другие колебания.
В работе обсуждается возможная неустойчивость вихревого кольца, которая может реализовываться за счет взаимодействия колебаний разных типов, имеющих энергию разного знака (колебания с положительной энергией и колебания с отрицательной энергией [3]). Сложность задачи заключается в том, что вырождение собственных колебаний и количественное установление их связи может проявляться только при учете пятого приближения по параметру тонкости . В работе [2] вычисления проведены с точностью до . В данной работе получено дисперсионное уравнение в приближении и отработана процедура получения следующих приближений. Отметим, что для получения решения в следующих приближениях требуются более глубокие разложения не только колебаний, но и стационарного решения.
Работа выполнена по гранту РНФ, проект 17-11-01271.
1.Fraenkel L.E. Examples of steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid, J. Fluid Mech., 1972
2.Kopiev V.F., Chernyshev S.A. Vortex-ring eigen-oscillations as a source of sound, J. Fluid Mech.,1997.
3.Копьев В.Ф., Чернышев С.А. Колебания вихревого кольца, возникновение в нем турбулентности и генерации звука // УФН. 2000. Т. 170. № 7. С. 713-742.
Роман Валерьевич Акиньшин
